Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 2 - Phần Hình học

Bài 54 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN.

Lời giải:

Tứ giác ABMN có hai đường chéo vuông góc nên

S_ABMN = $\frac{1}{2}$AM.BN

Vì Δ ABM và Δ AMC có chung chiều cao kẻ từ A, cạnh đáy BM = MC nên:

S_ABM = S_AMC = $\frac{1}{2}$S_ABC

Vì ΔMNA và ΔMNC có chung chiều cao kẻ từ M, cạnh đáy AN = NC nên:

S_MAN = S_MNC = $\frac{1}{2}$S_AMC = $\frac{1}{4}$S_ABC

Ta có: S_ABMN = S_ABM + S_MNA 

= $\frac{1}{2}$S_ABC + $\frac{1}{4}$S_ABC = $\frac{3}{4}$S_ABC

Vậy S_ABC = $\frac{4}{3}$S_ABMN

= $\frac{4}{3}.\frac{1}{2}$.AM.BN

= $\frac{2}{3}$AM.BN.