Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng l cắt cạnh AB và CD

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 2 - Phần Hình học

Bài 53 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo).

Lời giải:

Gọi h₁ và h₂ là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng l

Tổng khoảng cách là S.

Vì O là tâm đối xứng của hình vuông nên OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

MN = b nên MO = NO = $\frac{b}{2}$

Suy ra AM = CN.

Mà: $\widehat{AMP}=\widehat{DNS}$ (đồng vị)

Và  (đối đỉnh)

Suy ra: $\widehat{DNS}=\widehat{C\text{}NR}$

Suy ra: ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP = h₂

Vì AM = CN ⇒ BM = DN

Và  $\widehat{BMQ}=\widehat{DNS}$ (so le trong)

Suy ra: ΔBQM = ΔDSN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ DS = BQ = h₁

S_BOA = $\frac{1}{4}$S_ABCD = $\frac{1}{4}$a² (l)

S_BOA = S_BOM + S_AOM 

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}.\frac{b}{2}.h_1\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}.\frac{b}{2}.h_2\\ =\frac{b{h}_1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}b{h}_2}{4}\\ =\frac{1}{4}.\left(h_1+h_2\right)b\end{array}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

h₁ + h₂ = $\frac{a^2}{b}$

Vậy: S = 2(h₁ + h₂) = $\frac{2a^2}{b}$