Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB = 2a. Ở phía ngoài tam giác

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 2 - Phần Hình học

Bài 56 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB = 2a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC.

a) Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

c) Tính diện tích tứ giác DEFG.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm của BC, ta có:

AM = MB = BC = a (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Suy ra MA = MB = AB = a.

Suy ra ΔAMB đều

⇒ $\widehat{ABC}$= 60^o

Mặt khác: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}$ = 90° (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: $\widehat{ACB}$ = 90^o - $\widehat{A\text{}BC}$

 = 90^o – 60^o = 30^o

Trong tam giác vuông ABC, theo Pi-ta-go, ta có:

BC² = AB²+ AC²

⇒ AC² = BC² - AB² 

= 4a² - a² = 3a² 

⇒ AC = $a\sqrt{3}$

Vậy S_ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC

$=\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$  ( đvdt).

b) Ta có: $\widehat{FAB}=\widehat{ABC}$ = 60^o

Do đó: FA // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Và BC ⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ BE

Vì BC ⊥ CD (vì BCDE là hình vuông) và FA // BC

Suy ra: FA ⊥ CD

Gọi giao điểm BE và FA là H, FA và CD là K.

⇒ BH ⊥ FA và FH = HA = $\frac{a}{2}$ (tính chất tam giác đều)

Ta có:

$\widehat{ACG}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\widehat{ACB}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BCD}$

 = 60^o + 30^o + 90^o = 180^o

⇒ G, C, D thẳng hàng

⇒ AK ⊥ CG và GK = KC $=\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

S_FAG = $\frac{1}{2}$GK.AF

= $\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

S_FBE = $\frac{1}{2}$FH.BE

= $\frac{1}{2}.\frac{a}{2}$.2a = $\frac{1}{2}$a² (đvdt)

c) S_BCDE = BC² = (2a)² = 4a² (dvdt)

Trong tam giác vuông BHA, theo Pi-ta-go, ta có:

AH² + BH² = AB²

⇒ BH² = AB² - AH² 

=$a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

S_ABF = $\frac{1}{2}$BH.FA

=  $\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

Trong tam giác vuông AKC, theo Pi-ta-go, ta có:

AC² = AK² + KC²

⇒ AK² = AC² - KC² 

$=3a^2-\frac{3a^2}{4}=\frac{9a^2}{4}$

$\Rightarrow AK=\frac{3a}{2}$

S_ACG = AK.CG

= $\frac{1}{2}.\frac{3a}{2}.a\sqrt{3}$

$=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

Ta có:

S_DEFG = S_BCDE + S_FBE + S_FAB + S_FAG + S_ACG + S_ABC