SBT Toán 8 Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Mục lục Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Bài 58 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính:

Lời giải:

a) $\left(\frac{9}{x^3-9x}+\frac{1}{x+3}\right):\left(\frac{x-3}{x^2\text{}+3x}\text{-}\frac{x}{3x+9}\right)\text{}$

c) $\left(\frac{3x}{1-3x}\text{\hspace{0.17em}}+\frac{2x}{3x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}\right):\frac{6x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}10x}{1-6x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9x^2}$

$\begin{array}{l}=\frac{3x(3x+1)+2x(1-3x)}{(1-3x)(3x+1)}:\frac{2x(3x+5)}{{(1-3x)}^2}\\ =\frac{9x^2+3x+\text{}2x-6x^2}{(1-3x)(3x+1)}.\frac{{(1-3x)}^2}{2x(3x+5)}\end{array}$

$=\frac{3x^2+5x}{(1-3x)(3x+1)}.\frac{{(1-3x)}^2}{2x(3x+5)}$

$=\frac{x(3x+5).{(1-3x)}^2}{(1-3x)(3x+1).2x(3x+5)}$

$=\frac{1-3x}{2(3x+1)}$

$\begin{array}{l}=\frac{5(2x-5)}{x(x+5)(x-5)}.\frac{x(x+\text{}5)}{2x-5}+\frac{x}{5-x}\\ =\frac{5(2x-5).x(x+\text{}5)}{x(x+5)(x-5)(2x-5)}+\frac{x}{5-x}\end{array}$

$=\frac{5}{x-5}-\frac{x}{x-5}=\frac{5-x}{x-5}=-1$

Bài 59 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh đẳng thức:

Lời giải:

a) Ta có:

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

$VT=\left.\frac{2}{3x}\text{=}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{x+1}{3x}-x-1\right)\right]:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{x-1}{x}$

$\text{=}\left.\frac{2}{3x}-\frac{2}{x+1}.\left(\frac{x+1-3x(x+1)}{3x}\right)\right].\frac{x}{x-1}$

$\begin{array}{l}=\left.\frac{2}{3x}\text{-}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(1-3x)}{3x}\right)\right].\frac{x}{x-1}\\ =\left.\frac{2}{3x}-\frac{2(1-3x)}{3x}\right].\frac{x}{x-1}\end{array}$

$=\frac{2-2(1-3x)}{3x}.\frac{x}{x-1}$

$\begin{array}{l}=\frac{6x}{3x}.\frac{x}{x-1}\\ =\frac{2x}{x-1}=VP\end{array}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

c) Ta có:

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 60 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức:

a) $\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}}{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}-\frac{x-1}{x}}$;

b) $\frac{\frac{5}{4}-\frac{5}{x+1}}{\frac{9-x^2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}}$.

Lời giải:

a) $\frac{\frac{x}{x-1}-\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}}{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}-\frac{x-1}{x}}$

$=\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}\right):\left(\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}-\frac{x-1}{x}\right)$

$=\frac{x^2-(x+\text{}1).(x-1)}{x(x-1)}:\frac{x^2-(x-1).(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{x(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}$

$=\frac{x^2-(x^2-1)}{x(x-1)}:\frac{x^2-(x^2-1)}{x(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}$

$=\frac{1}{x(x-1)}:\frac{1}{x(x+\text{}1)}$

$=\frac{1}{x(x-1)}.\frac{x(x+1)}{1}=\frac{x+1}{x-1}$

b) $\frac{\frac{5}{4}-\frac{5}{x+1}}{\frac{9-x^2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}}$

$=\left(\frac{5}{4}-\frac{5}{x+1}\right):\frac{9-x^2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

$=\frac{5(x+\text{\hspace{0.17em}}1)-5.4}{4(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}\text{\hspace{0.17em}}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{(3+x).(3-x)}{{(x+1)}^2}$

$=\frac{5x-15}{4(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}.\frac{{(x+1)}^2}{(3+x).(3-x)}$

$=\frac{5(x-3){(x+1)}^2}{4(x+\text{\hspace{0.17em}}1)(3+x).(3-x)}$

$=\frac{-5(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{4(3+\text{}x)}$

Bài 61 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1:Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức $\frac{x^2-25}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0$ khi x² – 25 = 0 và x + 1 ≠ 0 hay (x – 5)(x + 5) = 0 và x ≠ – 1. Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi x = ±5.

Tìm các giá trị của x để giá trị mỗi phân thức sau có giá trị bằng 0:

a) $\frac{98x^2-2}{x-2}$ ;

b) $\frac{3x-2}{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$ .

Lời giải:

a) Phân thức $\frac{98x^2-2}{x-2}$= 0

khi 98x² – 2 = 0 và x – 2 ≠ 0

Ta có: x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2

98x² – 2 = 0 ⇔ 2(49x² – 1) = 0

⇔ (7x + 1)(7x – 1) = 0

$\Rightarrow \begin{array}{c}7x+1=0\\ 7x-1=0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}x=\frac{-1}{7}\\ x=\frac{1}{7}\end{array}$

 thỏa mãn điều kiện x ≠ 2

Vậy $x=\frac{1}{7};x=\frac{-1}{7}$ thì phân thức $\frac{98x^2-2}{x-2}$ có giá trị bằng 0.

b) Phân thức $\frac{3x-2}{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}=0$hay $\frac{3x-2}{{(x+1)}^2}=0$ khi 3x – 2 = 0 và (x + 1)² ≠ 0

Ta có: (x + 1)² ≠ 0 khi x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

3x – 2 = 0 $\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ ( thỏa mãn điều kiện x ≠ – 1).

Vậy $x=\frac{2}{3}$ thì phân thức $\frac{3x-2}{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$ có giá trị bằng 0.

Bài 62 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định:

a) $\frac{2x-3}{\frac{x-1}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}}$;

b) $\frac{\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}}{x-1}$;

c) $\frac{x^2-25}{\frac{x^2-10x+\text{}25}{x}}$;

d) $\frac{x^2-25}{\frac{x^2+10x+\text{}25}{x-5}}$.

Lời giải:

a) Biểu thức $\frac{2x-3}{\frac{x-1}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}}$ xác định khi:

x – 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0

Do đó x ≠ 1và x ≠ – 2

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 1 và x ≠ – 2.

b) Biểu thức $\frac{\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}}{x-1}$ xác định khi:

x ≠ 0 và x – 1 ≠ 0

Hay x ≠ 0 và x ≠ 1.

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 0 và x ≠ 1.

c) Biểu thức $\frac{x^2-25}{\frac{x^2-10x+\text{}25}{x}}$ xác định khi

x² – 10x + 25 ≠ 0 và x ≠ 0

x² – 10x + 25 ≠ 0 khi (x – 5)² ≠ 0 hay x ≠ 5

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 0 và x ≠ 5.

d) Biểu thức $\frac{x^2-25}{\frac{x^2+10x+\text{}25}{x-5}}$ xác định khi

x² + 10x + 25 ≠ 0 và x – 5 ≠ 0

x² + 10x + 25 ≠ 0 khi (x + 5)² ≠ 0 hay x ≠ – 5

x – 5 ≠ 0 khi x ≠ 5

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 5 và x ≠ – 5.

Bài 63 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

Lời giải:

a) Biểu thức $\frac{2x-3}{\frac{x-1}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}}$ xác định khi

x ≠ 1 và x ≠ – 2

Ta có: $\frac{2x-3}{\frac{x-1}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}}=\frac{(2x-3).(x+\text{}2)}{x-1}$ 

khi (2x – 3)(x + 2) = 0 và x – 1 ≠ 0

(2x – 3)(x + 2) = 0 khi $\begin{array}{c}2x-3=0\\ x+2=0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ x=-2\end{array}$

Kết hợp điều kiện, vậy $x=\frac{3}{2}$ thì biểu thức $\frac{2x-3}{\frac{x-1}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}}$ có giá trị bằng 0.

b) Biểu thức $\frac{\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}}{x-1}$ xác định khi

x ≠ 0 và x ≠ 1

Ta có:

$\frac{\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}}{x-1}=\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}:(x-1)=\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}.\frac{1}{x-1}=\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x(x-1)}$

Ta có: $\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x(x-1)}=0$

khi 2x² + 1 = 0 và x(x – 1) ≠ 0

Vì 2x² ≥ 0 nên 2x² + 1 ≠ 0 mọi x.

Không có giá trị nào của x để biểu thức $\frac{\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}}{x-1}$ có giá trị bằng 0.

c) Biểu thức $\frac{x^2-25}{\frac{x^2-10x+\text{}25}{x}}$ xác định khi x ≠ 0 và x ≠ 5.

Ta có:

 $\frac{x^2-25}{\frac{x^2-10x+\text{}25}{x}}=(x^2-25):\frac{x^2-10x+\text{}25}{x}$

$=(x^2-25).\frac{x}{x^2-10x+\text{}25}$

$=\frac{(\text{}x+5).(x-5).x}{{(x-5)}^2}=\frac{x(x+5)}{x-5}$

Ta có: $\frac{x(x+5)}{x-5}=0$

khi x(x + 5) = 0 và x – 5 ≠ 0

x(x + 5) = 0 $\Rightarrow \begin{array}{c}x=0\\ x+5=0\Rightarrow x=-5\end{array}$

Kết hợp điều kiện, vậy x = – 5 thì biểu thức $\frac{x^2-25}{\frac{x^2-10x+\text{}25}{x}}$ có giá trị bằng 0.

d) Biểu thức $\frac{x^2-25}{\frac{x^2+10x+\text{}25}{x-5}}$ xác định khi

x ≠ 5 và x ≠ – 5.

Ta có: $\frac{x^2-25}{\frac{x^2+10x+\text{}25}{x-5}}$

$=\left(x^2-25\right):\frac{x^2+10x+\text{}25}{x-5}$

$=\left(x^2-25\right).\frac{x-5}{x^2+10x+\text{}25}$

$=\frac{(x+5)(x-5).(x-5)}{{(x+5)}^2}=\frac{{(x-5)}^2}{x+5}$

Để biểu thức $\frac{x^2-25}{\frac{x^2+10x+\text{}25}{x-5}}=0$ thì $\frac{{(x-5)}^2}{x+5}=0$(với x khác 5 và x khác – 5).

Ta có ${(x-5)}^2=0\Rightarrow x=5$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức  $\frac{x^2-25}{\frac{x^2+10x+\text{}25}{x-5}}$ có giá trị bằng 0.

Bài 64 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x:

a) $\frac{x-\frac{1}{x}}{\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}}$;

b) $\frac{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}}{\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}}$;

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}.\left(\frac{x}{x^2-2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-\frac{1}{x^2-1}\right)$.

d) $\left(\frac{x}{x^2-36}-\frac{x-6}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}6x}\right):\frac{2x-6}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6x}+\frac{x}{6-x}$.

Lời giải:

a) Biểu thức $\frac{x-\frac{1}{x}}{\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}}$ xác định khi $x\ne 0$ và $\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}\ne 0$

Ta có:

$\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}=\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1-2x-2}{x}=\frac{x^2-1}{x}$

Do đó, để $\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}\ne 0$ thì $\frac{x^2-1}{x}\ne 0\Rightarrow x^2-1\ne 0\Rightarrow x\ne \pm 1$.

Vậy điều kiện của biến x là $x\ne 0;x\ne \pm 1$.

Với điều kiện trên ta có:

$\frac{x-\frac{1}{x}}{\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}}=\left(x-\frac{1}{x}\right):\left(\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}\right)$

$=\frac{x^2-1}{x}:\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1-2x-2}{x}$

$=\frac{x^2-1}{x}:\frac{x^2-1}{x}=1$

Vậy với điều kiện x ≠ 0 và x ≠ ±1 thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến x.

b) $\frac{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}}{\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}}$

Ta có $\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}$ xác định khi

x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

$\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}$ xác định khi

x – 1 ≠ 0 và x² – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

Và

$\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}\ne 0\Rightarrow \frac{(2x+2).(x+\text{}1)-4x}{x^2-1}\ne 0$

$\Rightarrow \frac{2x^2+2x+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{}2-4x}{(x-1).(x+\text{}1)}\ne 0$

$\Rightarrow \frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}2}{(x-1).(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}\ne 0$

Vì $2x^2+2>\text{\hspace{0.17em}}0$ với mọi x nên $\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}2}{(x-1).(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}\ne 0$ với mọi x.

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ ± 1.

Ta có

$\frac{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}}{\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}}=\left(\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}\text{+\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}\right):\left(\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}\right)$

$=\frac{x(x-1)+\text{\hspace{0.17em}}1(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}:\frac{(2x+\text{\hspace{0.17em}}2).(x+\text{\hspace{0.17em}}1)-4x}{(x+1).(x-1)}$

$=\frac{x^2-x+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}:\frac{2x+_2\text{\hspace{0.17em}}2x+2x+\text{\hspace{0.17em}}2-4x}{(x+1).(x-1)}$

$=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}:\frac{2x+_2\text{\hspace{0.17em}}2}{(x+1).(x-1)}$

$=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}.\frac{(x+\text{}1).(x-1)}{2x^2+2}$

$=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}.\frac{(x+\text{}1).(x-1)}{2(x^2+1)}=\frac{1}{2}$

Vậy với x ≠ ± 1 thì biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}.\left(\frac{x}{x^2-2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-\frac{1}{x^2-1}\right)$

Biểu thức xác định khi

x – 1 ≠ 0, x² – 2x + 1 ≠ 0 và x² – 1 ≠ 0

x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x² – 2x + 1 ≠ 0 ⇒ (x – 1)² ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x² – 1 ≠ 0 ⇒ (x – 1)(x + 1) ≠ 0

⇒ x ≠ – 1 và x ≠ 1.

Vậy biểu thức xác định với x ≠ – 1 và x ≠ 1.

Ta có:

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

d)

$\left(\frac{x}{x^2-36}-\frac{x-6}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}6x}\right):\frac{2x-6}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6x}+\frac{x}{6-x}$

Biểu thức xác định khi

x² – 36 ≠ 0, x² + 6x ≠ 0, 6 – x ≠ 0

và 2x – 6 ≠ 0

x² – 36 ≠ 0 ⇒ (x – 6)(x + 6) ≠ 0

⇒ x ≠ 6 và x ≠ – 6

x² + 6x ≠ 0 ⇒ x(x + 6) ≠ 0

⇒ x ≠ 0 và x ≠ – 6

6 – x ≠ 0 ⇒ x ≠ 6

2x – 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ – 6 thì biểu thức xác định.

Ta có:

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

Bài 65 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1:Chứng minh rằng:

a) Giá trị của biểu thức ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)\right]$bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 1.

b) Giá trị của biểu thức $\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$ bằng 1

khi x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ – 3 và x ≠ $\frac{-3}{2}$.

Lời giải:

a)Biểu thức ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2$ xác định khi x ≠ 0.

Biểu thức $\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)$ xác định khi x ≠ 0 và x ≠ – 1.

Với điều kiện x ≠ 0 và x ≠ – 1, ta có:

${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)\right]$

$={\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\frac{1+x}{x}\right]$

$={\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left(\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x}\right)$

$={\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left(\frac{x^2+1+\text{\hspace{0.17em}}2x}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}\right)$

$=\frac{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^2}{x^2}.\frac{x^2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x}$

$=\frac{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^2}{x^2}.\frac{x^2}{{(x+1)}^2}=1$

Vậy giá trị của biểu thức ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)\right]$ bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 1.

b) Biểu thức $\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$ xác định khi x – 3 ≠ 0, 2x + 3 ≠ 0, x² – 3x ≠ 0 và x² – 9 ≠ 0

Suy ra: x ≠ $\frac{-3}{2}$ ; x ≠ 0 và x ≠ ± 3.

Với điều kiện x ≠ 3; x ≠ $-\frac{3}{2}$ ; x ≠ 0; x ≠ – 3, ta có:

$\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$

Vậy giá trị của biểu thức $\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$ bằng 1

khi x ≠ 3; ; x ≠ 0; x ≠ – 3.

Bài 66 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1:Chú ý rằng nếu c > 0 thì (a + b)² + c và (a – b)² + c đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

a) Với mọi giá trị của x khác ±1, biểu thức $\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-1}\left(\frac{x^3}{2x+2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)-\frac{8x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}7}{2x^2-2}$ luôn luôn có giá trị dương.

b) Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3, biểu thức:

$\frac{1-x^2}{x}.\left(\frac{x^2}{x+3}-1\right)+\frac{3x^2-14x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3x}$ luôn luôn có giá trị âm.

Lời giải:

a) Điều kiện x ≠ 1 và x ≠ – 1

Ta có:

Ta có: x² + 2x + 3 = x² + 2x + 1 + 2 = (x + 1)² + 2 > 0 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị x ≠ 1 và x ≠ – 1.

b) Điều kiện x ≠ 0 và x ≠ – 3

Ta có:

Vì x² – 4x + 5 = x² – 4x + 4 + 1

= (x – 2)² + 1 > 0 với mọi giá trị của x

nên – x² + 4x – 5 = –  [(x – 2)² + 1] < 0 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 3.

Bài 67 trang 42 SBT Toán 8 Tập 1: Chú ý rằng vì (x + a)² ≥ 0 với mọi giá trị của x và (x + a)² = 0 khi x = – a nên (x + a)² + b ≥ 0 với mọi giá trị của x và (x + a)² + b = b khi x = – a. Do đó giá trị nhỏ nhất của (x + a)² + b bằng b khi x = – a. Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

a) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức $\frac{x^2}{x-2}.\left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}3$có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức $\frac{{(x+2)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x+_{2}6x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4}{x}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Lời giải:

a) Điều kiện x ≠ 2 và x ≠ 0.

$\frac{x^2}{x-2}.\left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3=\frac{x^2}{x-2}.\frac{x^2+4-4x}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+3$

$=\frac{x^2}{x-2}.\frac{{(x-\text{\hspace{0.17em}}2)}^2}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+3=x(x-2)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3$

$=x^2-2x+3=x^2-2x+1+\text{\hspace{0.17em}}2={(x-1)}^2+2$

Vì (x – 1)² ≥ 0 nên (x – 1)² + 2 ≥ 2 với mọi giá trị của x.

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x = 1.

b) Điều kiện x ≠ – 2 và x ≠ 0.

Ta có:

Vì (x + 1)² ≥ 0 nên – (x + 1)² ≤ 0

⇒ – (x + 1)² – 1 ≤ – 1.

Khi đó biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = – 1.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = – 1.

Bài tập bổ sung