Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Bài 64 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: 

a) $\frac{x-\frac{1}{x}}{\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}}$;

b) $\frac{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}}{\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}}$;

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}.\left(\frac{x}{x^2-2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-\frac{1}{x^2-1}\right)$.

d) $\left(\frac{x}{x^2-36}-\frac{x-6}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}6x}\right):\frac{2x-6}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6x}+\frac{x}{6-x}$.

Lời giải:

a) Biểu thức $\frac{x-\frac{1}{x}}{\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}}$ xác định khi $x\ne 0$ và $\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}\ne 0$

Ta có:

$\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}=\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1-2x-2}{x}=\frac{x^2-1}{x}$

Do đó, để $\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}\ne 0$ thì $\frac{x^2-1}{x}\ne 0\Rightarrow x^2-1\ne 0\Rightarrow x\ne \pm 1$.

Vậy điều kiện của biến x là $x\ne 0;x\ne \pm 1$.

Với điều kiện trên ta có:

$\frac{x-\frac{1}{x}}{\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}}=\left(x-\frac{1}{x}\right):\left(\frac{x^2+\text{}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x}-\frac{2x+2}{x}\right)$

$=\frac{x^2-1}{x}:\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1-2x-2}{x}$

$=\frac{x^2-1}{x}:\frac{x^2-1}{x}=1$

Vậy với điều kiện x ≠ 0 và x ≠ ±1 thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến x.

b) $\frac{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}}{\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}}$

Ta có $\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}$ xác định khi

x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

$\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}$ xác định khi

x – 1 ≠ 0 và x² – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

Và

$\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}\ne 0\Rightarrow \frac{(2x+2).(x+\text{}1)-4x}{x^2-1}\ne 0$

$\Rightarrow \frac{2x^2+2x+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{}2-4x}{(x-1).(x+\text{}1)}\ne 0$

$\Rightarrow \frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}2}{(x-1).(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}\ne 0$

Vì $2x^2+2>\text{\hspace{0.17em}}0$ với mọi x nên $\frac{2x^2+\text{\hspace{0.17em}}2}{(x-1).(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}\ne 0$ với mọi x.

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ ± 1.

Ta có

$\frac{\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}}{\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}}=\left(\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}\text{+\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x-1}\right):\left(\frac{2x+2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}\right)$

$=\frac{x(x-1)+\text{\hspace{0.17em}}1(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}:\frac{(2x+\text{\hspace{0.17em}}2).(x+\text{\hspace{0.17em}}1)-4x}{(x+1).(x-1)}$

$=\frac{x^2-x+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}:\frac{2x+_2\text{\hspace{0.17em}}2x+2x+\text{\hspace{0.17em}}2-4x}{(x+1).(x-1)}$

$=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}:\frac{2x+_2\text{\hspace{0.17em}}2}{(x+1).(x-1)}$

$=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}.\frac{(x+\text{}1).(x-1)}{2x^2+2}$

$=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}{(x+\text{\hspace{0.17em}}1).(x-1)}.\frac{(x+\text{}1).(x-1)}{2(x^2+1)}=\frac{1}{2}$

Vậy với x ≠ ± 1 thì biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1}.\left(\frac{x}{x^2-2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-\frac{1}{x^2-1}\right)$

Biểu thức xác định khi

x – 1 ≠ 0, x² – 2x + 1 ≠ 0 và x² – 1 ≠ 0

x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x² – 2x + 1 ≠ 0 ⇒ (x – 1)² ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x² – 1 ≠ 0 ⇒ (x – 1)(x + 1) ≠ 0

⇒ x ≠ – 1 và x ≠ 1.

Vậy biểu thức xác định với x ≠ – 1 và x ≠ 1.

Ta có:

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

d)

$\left(\frac{x}{x^2-36}-\frac{x-6}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}6x}\right):\frac{2x-6}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6x}+\frac{x}{6-x}$

Biểu thức xác định khi

x² – 36 ≠ 0, x² + 6x ≠ 0, 6 – x ≠ 0

và 2x – 6 ≠ 0

x² – 36 ≠ 0 ⇒ (x – 6)(x + 6) ≠ 0

⇒ x ≠ 6 và x ≠ – 6

x² + 6x ≠ 0 ⇒ x(x + 6) ≠ 0

⇒ x ≠ 0 và x ≠ – 6

6 – x ≠ 0 ⇒ x ≠ 6

2x – 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ – 6 thì biểu thức xác định.

Ta có:

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.