Chứng minh Bài 65 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Bài 65 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Giá trị của biểu thức ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)\right]$bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 1.

b) Giá trị của biểu thức $\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$ bằng 1

khi x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ – 3 và x ≠ $\frac{-3}{2}$.

Lời giải:

a)Biểu thức ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2$ xác định khi x ≠ 0.

Biểu thức $\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)$ xác định khi x ≠ 0 và x ≠ – 1.

Với điều kiện x ≠ 0 và x ≠ – 1, ta có:

${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)\right]$

$={\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\frac{1+x}{x}\right]$

$={\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left(\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x}\right)$

$={\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left(\frac{x^2+1+\text{\hspace{0.17em}}2x}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}\right)$

$=\frac{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^2}{x^2}.\frac{x^2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x}$

$=\frac{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^2}{x^2}.\frac{x^2}{{(x+1)}^2}=1$

Vậy giá trị của biểu thức ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left.\frac{x^2+1}{x^2}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{2}{x+1}.\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)\right]$ bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 1.

b) Biểu thức $\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$ xác định khi x – 3 ≠ 0, 2x + 3 ≠ 0, x² – 3x ≠ 0 và x² – 9 ≠ 0

Suy ra: x ≠ $\frac{-3}{2}$ ; x ≠ 0 và x ≠ ± 3.

Với điều kiện x ≠ 3; x ≠ $-\frac{3}{2}$ ; x ≠ 0; x ≠ – 3, ta có:

$\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$

Vậy giá trị của biểu thức $\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$ bằng 1

khi x ≠ 3; ; x ≠ 0; x ≠ – 3.