Chú ý rằng nếu c > 0 thì (a + b)^2 + c và (a – b)^2 + c đều dương với mọi a, b

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Bài 66 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Chú ý rằng nếu c > 0 thì (a + b)² + c và (a – b)² + c đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

a) Với mọi giá trị của x khác ±1, biểu thức $\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-1}\left(\frac{x^3}{2x+2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1\right)-\frac{8x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}7}{2x^2-2}$ luôn luôn có giá trị dương.

b) Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3, biểu thức:

$\frac{1-x^2}{x}.\left(\frac{x^2}{x+3}-1\right)+\frac{3x^2-14x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3x}$ luôn luôn có giá trị âm.

Lời giải:

a) Điều kiện x ≠ 1 và x ≠ – 1

Ta có:

Ta có: x² + 2x + 3 = x² + 2x + 1 + 2 = (x + 1)² + 2 > 0 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị x ≠ 1 và x ≠ – 1.

b) Điều kiện x ≠ 0 và x ≠ – 3

Ta có:

Vì x² – 4x + 5 = x² – 4x + 4 + 1

= (x – 2)² + 1 > 0 với mọi giá trị của x

nên – x² + 4x – 5 = –  [(x – 2)² + 1] < 0 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 3.