SBT Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

Bài 6 trang 6 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) (5x – 2y)(x² – xy + 1);

b) (x – 1)(x + 1)(x + 2);

c) $\frac{1}{2}$x²y² (2x + y)(2x – y).

Lời giải:

a) (5x – 2y)(x² – xy + 1)

= 5x.(x² – xy + 1) – 2y(x² – xy + 1)

= 5x. x² – 5x. xy + 5x. 1 – 2y.x² – 2y. (– xy) – 2y.1

= 5x³ – 5x²y + 5x – 2x²y + 2xy² – 2y

= 5x³ – (5x²y + 2x²y) + 5x + 2xy² – 2y

= 5x³ – 7x²y + 5x + 2xy² – 2y

b) (x – 1)(x + 1)(x + 2)

= [x.(x + 1) – 1.(x + 1)].(x + 2)

= (x² + x – x – 1)(x + 2)

= (x² – 1)(x + 2)

= x²( x + 2) – 1.(x + 2)

= x².x + x². 2 – 1.x – 1. 2

= x³ + 2x² – x – 2

c) $\frac{1}{2}$x²y² (2x + y)(2x – y)

= $\frac{1}{2}$.x²y² [2x .(2x – y) + y. (2x – y)]

= $\frac{1}{2}$.x²y² (4x² – 2xy + 2xy – y²)

= $\frac{1}{2}$.x²y² (4x² – y²)

= $\frac{1}{2}$.x².y².4x² + $\frac{1}{2}$.x²y². (– y²)

= 2x⁴y² – $\frac{1}{2}$x²y⁴

Bài 7 trang 6 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) ( $\frac{1}{2}$x – 1)(2x – 3);

b) (x – 7)(x – 5);

c)(x – $\frac{1}{2}$ )(x + $\frac{1}{2}$)(4x – 1).

Lời giải:

a)( $\frac{1}{2}$x – 1) (2x – 3)

= $\frac{1}{2}$x. (2x – 3) – 1.(2x – 3)

=$\frac{1}{2}$ x. 2x + $\frac{1}{2}$x. (–3) – 1.2x – 1. (– 3)

= x² –  $\frac{3}{2}$x – 2x + 3

= x² – ( $\frac{3}{2}$x + 2x ) + 3

= x² –  $\frac{7}{2}$x + 3

b) (x – 7)(x – 5)

= x. (x – 5) – 7.(x – 5)

= x² – 5x – 7x + 35

= x² – (5x + 7x) + 35

= x² – 12x + 35

c)(x – $\frac{1}{2}$)(x +$\frac{1}{2}$ )(4x – 1)

=[x. (x + $\frac{1}{2}$)  – $\frac{1}{2}$(x + $\frac{1}{2}$)]. (4x – 1)

= (x² + $\frac{1}{2}$x – $\frac{1}{2}$x – $\frac{1}{4}$).(4x – 1)

= (x² –  $\frac{1}{4}$)(4x – 1)

= x².(4x – 1) – $\frac{1}{4}$(4x – 1).

= 4x³ – x² – x + $\frac{1}{4}$

Bài 8 trang 6 SBT Toán 8 Tập 1:Chứng minh:

a) (x – 1)(x² + x + 1) = x³ – 1;

b) (x³ + x²y + xy² + y³)(x – y) = x⁴ – y⁴.

Lời giải:

a) Ta có: VT = (x – 1)(x² + x + 1)

= x.(x² + x + 1) + (– 1)(x² + x + 1)

= x³ + x² + x – x² – x – 1

= x³ + (x² – x²) + (x – x) – 1

= x³ – 1 = VP (điều phải chứng minh)

Vậy (x – 1)(x² + x + 1) = x³ – 1.

b) Ta có: VT = (x³ + x²y + xy² + y³)(x – y)

= (x – y). (x³ + x²y + xy² + y³).

= x. (x³ + x²y + xy² + y³ ) – y(x³ + x²y + xy² + y³)

= x⁴ + x³y + x²y² + xy³ – x³y – x²y² – xy³ – y⁴

= x⁴ + (x³y – x³y) + (x²y² – x²y²) + (xy³ – xy³) – y⁴

= x⁴ – y⁴ = VP (điều phải chứng minh)

Vậy (x³ + x²y + xy² + y³)(x – y) = x⁴ – y⁴

Bài 9 trang 6 SBT Toán 8 Tập 1:Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2.

Lời giải:

Ta có: a chia cho 3 dư 1 nên a = 3q + 1 (q ∈ )

b chia cho 3 dư 2 nên b = 3k + 2 (k ∈ )

Suy ra: a.b = (3q + 1)(3k + 2) = 3q(3k + 2) + 1. (3k + 2) = 9qk + 6q + 3k + 2

Vì 9 ⁝ 3 nên 9qk ⁝ 3

Vì 6 ⁝ 3 nên 6q ⁝ 3

Vì 3 ⁝ 3 nên 3k ⁝ 3

Và 2 chia cho 3 dư 2.

Vậy a.b = 9qk + 6q + 3k + 2 = 3(3qk + 2q + k) + 2 chia cho 3 dư 2 ( điều phải chứng minh).

Bài 10 trang 6 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: n(2n – 3) – 2n(n + 1)

= n.2n + n. (– 3) – 2n.n – 2n. 1

= 2n² – 3n – 2n² – 2n

=(2n² – 2n²) – (3n + 2n)

= – 5n

Vì –5 ⁝ 5 nên – 5n ⁝ 5 với mọi n $\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ (điều phải chứng minh).

Bài tập bổ sung