Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số 

Bài 2 trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{A}{2x-1}=\frac{6x^2+3x}{4x^2-1}$;

b) $\frac{4x^2-3x-7}{A}=\frac{4x-7}{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}$;

c) $\frac{4x^2-7x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=\frac{A}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$;

d) $\frac{x^2-2x}{2x^2-3x-2}=\frac{x^2+2x}{A}$.

Lời giải:

a) $\frac{A}{2x-1}=\frac{6x^2+3x}{4x^2-1}$

⇒ A(4x² – 1) = (2x – 1).(6x² + 3x)

⇒ A(2x – 1)(2x + 1) = (2x – 1).3x(2x + 1)

⇒ A = 3x

Khi đó $\frac{3x}{2x-1}=\frac{6x^2+3x}{4x^2-1}$

Vậy A = 3x.

b) $\frac{4x^2-3x-7}{A}=\frac{4x-7}{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}$

⇒ (4x² – 3x – 7)(2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ (4x² + 4x – 7x – 7)(2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ [4x(x + 1) – 7(x + 1)](2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ (x + 1)(4x – 7)(2x + 3)

= A(4x – 7)

⇒ A = (x + 1)(2x + 3)

= 2x² + 3x + 2x + 3 = 2x² + 5x + 3

Khi đó $\frac{4x^2-3x-7}{2x^2+5x+3}=\frac{4x-7}{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}$

Vậy A = 2x² + 5x + 3.

c) $\frac{4x^2-7x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=\frac{A}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

⇒ (4x² – 7x + 3).(x² + 2x + 1)

= A.(x² – 1)

⇒ (4x² – 4x – 3x + 3).(x + 1)² 

= A.(x + 1)(x – 1)

⇒ [4x(x – 1) – 3(x – 1)].(x + 1)² 

= A.(x + 1)(x – 1)

⇒ (x – 1)(4x – 3)(x + 1)² 

= A(x + 1)(x – 1)

⇒ A = (4x – 3)(x + 1)

= 4x² + 4x – 3x – 3 = 4x² + x – 3

Khi đó $\frac{4x^2-7x+\text{\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=\frac{4x^2+x-3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

Vậy A = 4x² + x – 3.

d) $\frac{x^2-2x}{2x^2-3x-2}=\frac{x^2+2x}{A}$

⇒ (x² – 2x).A = (2x² – 3x – 2)(x² + 2x)

⇒ x(x – 2).A

= (2x² – 4x + x – 2).x(x + 2)

⇒ x(x – 2).A

= [2x(x – 2) + (x – 2)].x(x + 2)

⇒ x(x – 2).A = (x – 2)(2x + 1).x.(x + 2)

⇒ A = (2x + 1)(x + 2)

= 2x² + 4x + x + 2 = 2x² + 5x + 2

Khi đó $\frac{x^2-2x}{2x^2-3x-2}=\frac{x^2+2x}{2x^2+5x+\text{}2}$

Vậy A = 2x² + 5x + 2.