Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Tứ giác

Bài 10 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Lời giải:

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.

* Trong ΔOAB, ta có:

OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong ΔOCD, ta có:

OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)

* Trong ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)

* Trong ΔOBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

2(AC + BD) > a + b + c + d

$\Rightarrow AC+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}BD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>\frac{a+\text{\hspace{0.17em}}b+\text{\hspace{0.17em}}c+\text{\hspace{0.17em}}d}{2}$

* Trong ΔABC, ta có:

AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)

* Trong ΔADC, ta có:

AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2AC < a + b + c + d

$\Rightarrow AC<\frac{a+\text{}b+\text{\hspace{0.17em}}c\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+d}{2}$ ( 5)

* Trong ΔABD, ta có:

BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)

* Trong ΔBCD, ta có:

BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2BD < a + b + c + d

$\Rightarrow BD<\frac{a+\text{}b+\text{\hspace{0.17em}}c\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+d}{2}$ ( 6)

Từ (5) và (6) suy ra:

AC + BD < a + b + c + d  ( điều phải chứng minh).