Giải các phương trình Bài 5.1 trang 13 SBT Toán 8 Tập 2

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 5.1 trang 13 SBT Toán lớp 8 Tập 2: 

a) $\frac{2}{x+\frac{1}{1+\frac{x+1}{x-2}}}=\frac{6}{3x-1}$;

b) $\frac{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}{1+\frac{x+1}{x-1}}=\frac{x-1}{2(x+1)}$;

c) $\frac{5}{x}+\frac{4}{x+1}=\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x+3}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$x+\frac{1}{1+\frac{x+1}{x-2}}=x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{\frac{2x-1}{x-2}}=x+\text{\hspace{0.17em}}\frac{x-2}{2x-1}=\frac{x(2x-1)+x-2}{2x-1}=\frac{2x^2-2}{2x-1}=\frac{2(x^2-1)}{2x-1}$

$\Rightarrow \frac{2}{x+\frac{1}{1+\frac{x+1}{x+2}}}=\frac{2}{\frac{2\left(x^2-1\right)}{2x-1}}=\frac{2x-1}{x^2-1}$

ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2; x ≠ $\frac{1}{2}$; x ≠ 1; x ≠ –1; x ≠ $\frac{1}{3}$.

Ta biến đổi phương trình đã cho thành $\frac{2x-1}{x^2-1}=\frac{6}{3x-1}$

Khử mẫu và rút gọn ta được:

(2x − 1)(3x − 1) = 6(x² − 1)

 6x² – 2x – 3x + 1 = 6x² – 6

⇔ −5x + 1 = −6

⇔ $x=\frac{7}{5}$.

Giá trị $x=\frac{7}{5}$ thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{7}{5}$.

b)  ĐKXĐ: x≠ ± 1.

Ta có: $\frac{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}{1+\frac{x+1}{x-1}}=\frac{x-1}{2(x+1)}$

 Biến đổi vế trái thành

$VT=\frac{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}{1+\frac{x+1}{x-1}}=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\left(1+\frac{x+1}{x-1}\right)$

$=\frac{{(x+1)}^2-{(x-1)}^2}{(x-1)(x+1)}:\frac{x-1+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{}1}{x-1}$

$=\frac{x^2+\text{}2x+1-x^2+\text{}2x-1}{(x-1)(x+\text{}1)}:\frac{2x}{x-1}$

$=\frac{4x}{(x-1)(x+1)}.\frac{x-1}{2x}=\frac{2}{x+1}$

Ta đưa phương trình đã cho về dạng $\frac{2}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}=\frac{x-1}{2(x+1)}$ .

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

4(x + 1) = (x − 1)(x + 1)

⇔ (x + 1)(4 – x + 1) = 0

⇔x = −1 hoặc x = 5

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

c) ĐKXĐ: x ≠ {0; −1; −2; −3}. Ta biến đổi phương trình như sau:

$\frac{5}{x}+\frac{4}{x+1}=\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x+3}$

$\iff \left(\frac{5}{x}+1\right)+\left(\frac{4}{x+1}+1\right)=\left(\frac{3}{x+2}+1\right)+\left(\frac{2}{x+3}+1\right)$

$\iff \frac{5+x}{x}+\frac{5+\text{}x}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}=\frac{5+\text{}x}{x+2}+\frac{5+x}{x+3}$

$\iff \frac{5+x}{x}+\frac{5+\text{}x}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}-\frac{5+\text{}x}{x+2}-\frac{5+x}{x+3}=0$

$\iff (5+x).\left(\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\text{\hspace{0.17em}}-\frac{1}{x+3}\right)=0$

$\iff 5+x=0$ hoặc $\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\text{\hspace{0.17em}}-\frac{1}{x+3}=0$

Ta có: 5 + x  = 0 khi x = − 5.

Và $\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\text{\hspace{0.17em}}-\frac{1}{x+3}=0$

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

$\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}>\frac{1}{x+2};\frac{1}{x+1}\text{\hspace{0.17em}}>\frac{1}{x+3}$

Do đó, $\frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}-\frac{1}{x+2}>0;\frac{1}{x+1}\text{\hspace{0.17em}}-\frac{1}{x+3}>0$

$\Rightarrow \frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\text{\hspace{0.17em}}-\frac{1}{x+3}>0$. Do đó, phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {− 5}.