Anonymous

Giải phương trình khi a = – 3 Bài 42 trang 13 SBT Toán 8 Tập 2

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 42 trang 13 SBT Toán lớp 8 Tập 2:

$\frac{x + a}{a - x} + \frac{x - a}{a + x} = \frac{a (3 a + 1)}{a^{2} - x^{2}}$ .

a) Giải phương trình khi a = – 3;

b) Giải phương trình khi a = 1;

c) Giải phương trình khi a = 0;

d) Tìm giá trị của a sao cho phương trình nhận $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm.

Lời giải:

a) Khi a = – 3, ta có phương trình:

$\frac{x - 3}{- 3 - x} + \frac{x + 3}{- 3 + x} = \frac{- 3 3. (- 3) + 1]}{{(- 3)}^{2} - x^{2}}$ (ĐKXĐ: $x \neq \pm 3$ )

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{3 - x}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{24}{9 - x^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{3 - x}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{- 24}{x^{2} - 9} \\ \Leftrightarrow \frac{(3 - x) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{- 24}{(x + 3) (x - 3)} \end{array}$

$\Rightarrow$ (3 – x)(x – 3) + (x + 3)² = – 24

⇔ 3x – 9 – x² + 3x + x² + 6x + 9 = – 24

⇔ 12x = – 24

⇔ x = – 2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = – 2.

b) Khi a = 1, ta có phương trình:

$\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{x - 1}{1 + x} = \frac{1 (3.1 + 1)}{1^{2} - x^{2}}$ (ĐKXĐ: $x \neq \pm 1$ )

$\Leftrightarrow \frac{(x + 1) (1 + x)}{(1 - x) (1 + x)} + \frac{(x - 1) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)}$

$\Rightarrow$ (x + 1)² + (x – 1)(1 – x) = 4

⇔ x² + 2x + 1 + x – x² – 1 + x = 4

⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Khi a = 0, ta có phương trình:

$\frac{x}{- x} + \frac{x}{x} = \frac{0}{- x^{2}}$ (ĐKXĐ: $x \neq 0$ )

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{- x^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}} \\ \Rightarrow - x^{2} + x^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 0 x^{2} = 0 \end{array}$

Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ≠ 0.

Vậy phương trình có nghiệm $x \in ℝ$ và x ≠ 0.

d) Thay $x = \frac{1}{2}$ vào phương trình, ta có:

$\frac{\frac{1}{2} + a}{a - \frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{2} - a}{a + \frac{1}{2}} = \frac{a (3 a + 1)}{a^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ (ĐKXĐ: $a \neq \pm \frac{1}{2}$ )

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1 + 2 a}{2 a - 1} + \frac{1 - 2 a}{2 a + 1} = \frac{4 a (3 a + 1)}{4 a^{2} - 1} \\ \Leftrightarrow \frac{(1 + 2 a) (2 a + 1)}{(2 a - 1) (2 a + 1)} + \frac{(1 - 2 a) (2 a - 1)}{(2 a + 1) (2 a - 1)} \\ = \frac{4 a (3 a + 1)}{(2 a + 1) (2 a - 1)} \end{array}$

⇔ (1 + 2a)(2a + 1) + (1 – 2a)(2a – 1) = 4a(3a + 1)

⇔ 2a + 1 + 4a² + 2a + 2a – 1 – 4a² + 2a = 12a² + 4a

⇔ 12a² – 4a = 0 ⇔ 4a(3a – 1) = 0

⇔ 4a = 0 hoặc 3a – 1 = 0

⇔ a = 0 (thỏa mãn) hoặc $a = \frac{1}{3}$ (thỏa mãn)

Vậy khi a = 0 hoặc $a = \frac{1}{3}$ thì phương trình $\frac{x + a}{a - x} + \frac{x - a}{a + x} = \frac{a (3 a + 1)}{a^{2} - x^{2}}$ có nghiệm $x = \frac{1}{2}$ .