Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 49 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có dộ dài là 9cm và 16cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông DAC và DBA ,ta có:

$\widehat{ADC}=\widehat{BDA}$ = 90^o

$\widehat{C}=\widehat{DAB}$ (hai góc cùng phụ $\hat{B}$)

Suy ra: ΔDAC đồng dạng ΔDBA (g.g)

Suy ra: $\frac{DB}{DA}=\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{AC}$

⇒ DA² = DB.DC

hay $DA\text{}=\sqrt{DB.DC}=\sqrt{9.16}=12\left(cm\right)$.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

AB² = DA² + DB² = 9² + 12² = 225 ⇒ AB =15 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACD,ta có:

AC² = DA² + DC² = 12² +16² = 400 ⇒ AC = 20cm

Vậy BC = BD + DC = 9 + 16 = 25(cm).

*Phương pháp giải:

Sử dụng tam giác đồng dạng và định lý Pi-ta-go

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC};\widehat{A^{\prime }}=\hat{A},\widehat{B^{\prime }}=\hat{B},\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$

Kí hiệu:$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$(viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số$k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$là tỉ số đồng dạng của$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$với$\mathrm{\Delta }ABC$.

Nhận xét:

-$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng k thì$\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$với tỉ số đồng dạng$\frac{1}{k}$. Ta nói hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng với nhau.

- Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 1. Mọi tam giác đồng dạng với chính nó.

-$\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$với tỉ số đồng dạng k và$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng m thì$\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng k.m.

2. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$\mathrm{\Delta }ABC,MN//BC(M\in AB;N\in AC)\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Chú ý.Định lí trên vẫn đúng nếu thay bằng đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác.

$ED//BC\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Định lí Pytago:

Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

∆ABC vuông tại A: BC²= AB²+ AC²