Cho tam giác ABC vuông tại A, chân H của đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 8.3 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Tính độ dài DE

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh M là trung điểm của BH , N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông ABH và CAH có:

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (cùng phụ với góc $\widehat{BAH}$)

Do đó ∆ ABH đồng dạng ∆CAH (g.g).

Suy ra: $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$.

⇒AH² = BH. CH = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6(cm)

Mặt khác, HD ⊥ AB và HE ⊥ AC nên ADHE là hình chữ nhật.

Suy ra: DE = AH = 6 (cm).

b) Vì ADHE là hình chữ nhật nên OD = OH

Suy ra, tam giác ODH cân tại O

⇒ $\widehat{ODH}=\widehat{OHD}$

Mà

$\begin{array}{l}\widehat{ODH}+\widehat{MDH}={90}^0;\\ \widehat{OHD}\text{}+\widehat{MHD}={90}^0\\ \Rightarrow \widehat{MDH}=\widehat{MHD}\end{array}$

Xét tam giác MBD có:

 $\widehat{MDB}=\widehat{MBD}$  (vì cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{MDH}=\widehat{MHD}$)

Suy ra, tam giác MBD cân tại M.

Do đó MD = MB (2)

Từ (1) và (2) suy ra, MB = MH.

Vậy M là trung điểm của BH.

Tương tự, ta cũng có N là trung điểm của CH.

c) Theo chứng minh trên, ta có:

DM = MH = $\frac{1}{2}$BH = $\frac{1}{2}$.4 = 2(cm)

EN = NH = $\frac{1}{2}$CH = $\frac{1}{2}$.9 = 4,5(cm)

DE = AH = 6(cm).

DENM là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:

S_DENM = $\frac{1}{2}$(DM + EN).DE

= $\frac{1}{2}$.(2 + 4,5).6 = 19,5(cm²).