Cho a và b là các số dương, chứng tỏ: a/b + b/a lớn hơn hoặc bằng 2

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài 29 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Lời giải:

Với 2 số dương a, b bất kì ta có:

(a – b)² ≥ 0 ⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab

hay a² + b² ≥ 2ab (*)

Vì a > 0, b > 0 ⇒ a.b > 0 ⇒ $\frac{1}{ab}>0$.

Nhân hai vế của (*) với $\frac{1}{ab}$ ta có:

$(a^2+b^2).\frac{1}{ab}\ge 2ab.\frac{1}{ab}\iff \frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$

(điều phải chứng minh).