Cho x > 0, chứng tỏ: x + 1/x lớn hơn hoặc bằng 2

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài 2.5 trang 54 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a) Cho x > 0, chứng tỏ: $x+\frac{1}{x}\ge 2$

b) Từ kết quả câu a, nếu x < 0 sẽ có kết quả nào ?

Lời giải:

a) Nếu có $x+\frac{1}{x}-2\ge 0$ thì suy ra $x+\frac{1}{x}\ge 2$

nên ta sẽ chứng tỏ $x+\frac{1}{x}-2\ge 0$

Ta có: $x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}1-2x}{x}=\frac{{(x-1)}^2}{x}\ge 0$

Vì (x − 1)² ≥ 0 với x bất kì và x > 0 (đề bài)

thì  $\frac{{(x-1)}^2}{x}\ge 0$

Vậy $x+\frac{1}{x}-2\ge 0$ nên $x+\frac{1}{x}\ge 2$ với x > 0.

b) Nếu x < 0, ta đặt a = –x thì a > 0

Từ kết quả câu a, ta có $a+\frac{1}{a}\ge 2$ 

Thay a = –x, ta có:  $-x-\frac{1}{x}\ge 2$  (2)

Nhân hai vế của (1) với số –1, ta có: $x+\frac{1}{x}\le -2$.

Vậy, với x < 0 thì $x+\frac{1}{x}\le -2$.