Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là a và b

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 4 - Phần Hình học

Bài IV.5 trang 159 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Lời giải:

Xét hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D' như hình trên.

Gọi M, M' thứ tự là trung điểm của BC, B'C'. Khi đó MM' là đường cao của hình thang cân BCC'B'.

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

S_xq = $4\frac{a+\text{}b}{2}$.MM′= (2a + 2b).MM′

Từ giả thiết ta có:

(2a + 2b).MM′ = a² + b² 

$\Rightarrow MM\text{'}=\frac{a^2+\text{}{b}^2}{2(a\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}b)}$(1)

Dễ thấy OM // O'M' nên OM và O'M' xác định mặt phẳng (OMM'O'). Trong mặt phẳng (OMM'O'), kẻ MH ⊥ O'M'. Khi đó: HM' = O'M' – O'H = $\frac{b-a}{2}$

Trong tam giác vuông MHM' ta có:

MM′² = MH² + HM′² = h² + ${\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

$h^2+\text{\hspace{0.17em}}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2=\frac{{(a^2+\text{}{b}^2)}^2}{4{(a+\text{}b)}^2}$

$\Rightarrow h^2=\frac{{(a^2+\text{}{b}^2)}^2}{4{(a+\text{}b)}^2}-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2=\frac{a^2{b}^2}{{(a+b)}^2}$

$\Rightarrow h=\frac{ab}{a+\text{\hspace{0.17em}}b}$