Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng: (a + b)(1/a + 1/b) lớn hơn hoặc bằng 4

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 4

Bài 80 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Lời giải:

Ta có: (a – b)² ≥ 0 với mọi a, b

⇔ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇔ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab

⇔ a² + b² ≥ 2ab    (1)

Vì a > 0, b > 0 nên ab > 0 ⇒ $\frac{1}{ab}$ > 0  (2)

Từ (1); (2) suy ra:

(a² + b²).$\frac{1}{ab}$  ≥ 2ab.$\frac{1}{ab}$

⇔ $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ ≥ 2

⇔ 2 + $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ ≥  2 + 2

 ⇔ 2 + $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ ≥ 4

⇔ 1 + 1 + $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ ≥ 4

⇔ $\frac{a}{a}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{b}{b}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$  ≥ 4

⇔ $a\left(\frac{1}{a}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{b}\right)+\text{}b\left(\frac{1}{a}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{1}{b}\right)$ ≥ 4

⇔ $(a+b).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\text{}\right)\ge 4$ (điều phải chứng minh).