Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bài 56 trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: 

a) $\frac{x}{x^2-4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3}{{(x+2)}^2}$?

b) $\frac{1}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x-1$?

Lời giải:

a) Biểu thức xác định khi:

x² – 4 = (x + 2).(x – 2) ≠ 0

và (x + 2)² ≠ 0 hay x ≠ ± 2 .

Ta có:

$\frac{x}{x^2-4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3}{{(x+2)}^2}=\frac{x}{(x+\text{}2).(x-2)}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3}{{(x+2)}^2}$

$=\frac{x(x+\text{\hspace{0.17em}}2)+3(x-2)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}=\frac{x^2+2x+3x-6}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}$

$\begin{array}{l}=\frac{x^2+5x-6}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2(x-2)}=\frac{x^2-x+6x-6}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2(x-2)}\\ =\frac{x(x-1)+\text{\hspace{0.17em}}6(x-1)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}=\frac{(x-1)(x+6)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}\end{array}$

Biểu thức bằng 0 khi (x – 1)(x + 6) = 0

và (x – 2)(x + 2)² ≠ 0

+) Ta có: (x – 1).(x + 6) = 0

khi x – 1= 0 hay x + 6 = 0

x – 1 = 0 khi x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

x + 6 = 0 khi x = – 6 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với x = 1 hoặc x = – 6 thì giá trị biểu thức bằng 0.

b) $\frac{1}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x-1$

$=\frac{1+(x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1).(x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

$=\frac{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{x}^3-1}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}=\frac{x^3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

Biểu thức bằng 0 khi

x³ = 0 và x² + x + 1 ≠ 0

Ta có: x³ = 0 ⇒ x = 0;

 $x^2+x+1=x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2.x.\frac{1}{2}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={\left(x+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}}\frac{3}{4}>0vớimọix$

Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0.