Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bài 52 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và y):

a) $\frac{x^2-y^2}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)(6x-6y)}$.

b) $\frac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x\text{\hspace{0.17em}}+9y+\text{\hspace{0.17em}}6ay}$ 

(a là hằng số khác $\frac{-3}{2}$).

Lời giải:

a)  $\frac{x^2-y^2}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)(6x-6y)}$ xác định khi: 

(x + y)(6x – 6y) ≠ 0 .

Suy ra: 

$\begin{array}{c}x+y\ne 0\\ 6x-6y\ne 0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}x\ne -y\\ x-y\ne 0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}x\ne -y\\ x\ne y\end{array}$

Điều kiện x ≠ ± y, ta có:

$\frac{x^2-y^2}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)(6x-6y)}=\frac{(x+y).(x-y)}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)\mathrm{.6.}(x-y)}=\frac{1}{6}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y.

b) $\frac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x\text{\hspace{0.17em}}+9y+\text{\hspace{0.17em}}6ay}$ xác định khi

4ax + 6x + 9y + 6ay ≠ 0

⇒ 2x(2a + 3) + 3y(2a + 3)

= (2a + 3)(2x + 3y) ≠ 0

Suy ra:

$\begin{array}{c}2a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3\ne 0\\ 2x+3y\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{c}a\ne \frac{-3}{2}\\ x\ne \frac{-3y}{2}\end{array}$.

Điều kiện: $x\ne \frac{-3}{2}y$ và $a\ne \frac{-3}{2}$

$\frac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x\text{\hspace{0.17em}}+9y+\text{\hspace{0.17em}}6ay}=\frac{2x(a-1)+3y(a-1)}{(2a+3).(2x+3y)}$

$=\frac{(2x+3y).(a-1)}{(2a+\text{\hspace{0.17em}}3).(2x+3y)}=\frac{a-1}{2a+3}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y.