Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bài 9.2 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1:

a) $\frac{1+x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}}{2\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x}}$;

b) $\frac{1+x^2-\frac{4}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2-\frac{4}{x+1}}$.

Lời giải:

a) $\frac{1+x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}}{2\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x}}$ có điều kiện là $x\ne 0;x\ne \frac{-1}{2}$.

Để giá trị của phân thức đã cho bằng 1 thì $\frac{1+x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}}{2\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x}}=1$

$\left(1+x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}\right):\left(2\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{x}\right)=1$

$\frac{x+x^3+1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}:\frac{2x+1}{x}=1$

$\frac{x+x^3+1}{x}.\frac{x}{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-1=0$

$\frac{x+x^3+1}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}=0$

$\frac{x+x^3+1-2x-1}{2x+1}=0$

$\begin{array}{l}\frac{x^3-x}{2x+1}=0\\ \frac{x(x+1).(x-1)}{2x+1}=0\end{array}$

Giá trị biểu thức trên bằng 0 khi

⇒ x = 0 hoặc (x + 1) = 0 hoặc x – 1 = 0

Với x + 1 = 0 thì x = – 1

Vơi x – 1 = 0 thì x = 1

x = 0 không thỏa mãn điều kiện nên loại

Vậy x = 1 hoặc x = – 1.

b) $\frac{1+x^2-\frac{4}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2-\frac{4}{x+1}}$

Điều kiện $x+1\ne 0$ và 

$2-\frac{4}{x+1}\ne 0\Rightarrow \frac{4}{x+1}\ne 2\Rightarrow 4\ne 2(x+\text{\hspace{0.17em}}1)\Rightarrow 2\ne x+1\Rightarrow x\ne 1$

Vậy $x\ne \pm 1$.

Để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1 thì $\frac{1+x^2-\frac{4}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2-\frac{4}{x+1}}=1$

$\left(1+x^2-\frac{4}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}\right):\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(2-\frac{4}{x+1}\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=1$

$\frac{(1+x^2)(x+\text{\hspace{0.17em}}1)-4}{x+1}:\frac{2(x+\text{\hspace{0.17em}}1)-4}{x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+1}=1$

$\begin{array}{l}\frac{x+1+x^3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+x^2-4}{x+1}:\frac{2x-2}{x+1}-1=0\\ \frac{x^3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+x^2+\text{}x-3}{x+1}.\frac{x+1}{2x-2}-1=0\end{array}$

$\frac{x^3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+x^2+\text{}x-3}{2x-2}-\frac{2x-2}{2x-2}=0$

$\frac{x^3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+x^2+\text{}x-3-2x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+2}{2x-2}=0$

$\frac{x^3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+x^2-\text{\hspace{0.17em}}x-1}{2x-2}=0$                                                            

Giá trị biểu thức bằng 0

Khi x³ + x² – x – 1 = 0

⇒ x²(x + 1) − (x + 1) = 0

⇒ (x + 1) (x² − 1) = 0

⇒ x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

Với x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Với x – 1 = 0 ⇒ x = 1.

Vì x = 1 và x = – 1đều  không thỏa mãn điều kiện

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1.