Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bài 57 trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: 

$a)\frac{2}{x-3}$;

$b)\frac{3}{x+2}$;

$c)\frac{3x^3-4x^2+x-1}{x-4}$

$d)\frac{3x^2-x+\text{}1}{3x+2}$

Lời giải:

a) Vì $\frac{2}{x-3}$ là một số nguyên

nên 2 ⁝ (x – 3) và x ≠ 3

Suy ra: x – 3 ∈ Ư(2) = {– 2; – 1; 1; 2}

Ta có: x – 3 = – 2

⇒ x = 1 (t/m x là số nguyên)           

x – 3 = – 1 ⇒ x = 2 (t/m)

 x – 3 = 1 ⇒ x = 4 (t/m) 

 x – 3 = 2 ⇒ x = 5 (t/m)

Vậy với x ∈ {1; 2; 4; 5} thì $\frac{2}{x-3}$ là một số nguyên.

b) Vì $\frac{3}{x+2}$ là một số nguyên

nên 3 ⁝ (x + 2) và x ≠ – 2

Suy ra: x + 2 ∈ Ư(3) = {– 3; – 1; 1; 3}

Ta có: x + 2 = – 3 ⇒ x = – 5;           

x + 2= – 1 ⇒ x = – 3;

x + 2 = 1 ⇒ x = – 1;            

x + 2 = 3 ⇒ x = 1

Vậy với x ∈ {– 5; – 3; – 1; 1}

thì $\frac{3}{x+2}$ là một số nguyên.

c) Ta có:

$\frac{3x^3-4x^2+x-1}{x-4}$

$=\frac{(\text{}3x^2\text{}+8x+\text{\hspace{0.17em}}33)(x-4)+131}{x-4}$

$=3x^2\text{}+8x+\text{\hspace{0.17em}}33+\frac{131}{x-4}$

Với x là số nguyên ta có:

3x² + 8x + 33 là số nguyên.

Để biểu thức đã cho là số nguyên thì 131 ⁝ (x – 4) và x ≠ 4

Suy ra: x – 4 ∈ Ư(131)

= {– 131; – 1; 1; 131}

Ta có: x – 4 = – 131 ⇒ x = – 127;            

x – 4 = – 1 ⇒ x = 3;

x – 4 = 1 ⇒ x = 5;            

x – 4 = 131 ⇒ x = 135

Vậy với x ∈ {– 127; 3; 5; 135}

thì $\frac{3x^3-4x^2+x-1}{x-4}$ là số nguyên.

d) Ta có: $\frac{3x^2-x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{3x+2}$

$=\frac{(\text{}3x+2).(x-1)+3}{3x+\text{\hspace{0.17em}}2}=x-1+\frac{3}{3x+2}$

(với $x\ne \frac{-2}{3}$).

Vì x là số nguyên nên x – 1 là số nguyên.

Để biểu thức đã cho là số nguyên

thì 3 ⁝ (3x + 2) và $x\ne \frac{-2}{3}$.

Suy ra: 3x + 2 ∈ Ư(3) = {– 3; – 1; 1; 3}

Ta có: 3x + 2 = – 3 ⇒  $x=\frac{-5}{3}\notin \mathbb{Z}$(loại)

3x + 2 = – 1 ⇒ x = – 1 (thỏa mãn)

3x + 2 = 1 ⇒  $x=\frac{-1}{3}\notin \mathbb{Z}$(loại)

3x + 2 = 3 ⇒ $x=\frac{1}{3}\notin \mathbb{Z}$  (loại)

Vậy với x = – 1 thì $\frac{3x^2-x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{3x+2}$ có giá trị nguyên.