Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 111 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

* Trong ΔABC, ta có:

E là trung điểm của AB và F là trung điểm của BC.

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

⇒ EF // AC và EF = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

* Trong ΔDAC, ta có:

H là trung điểm của AD ; G là trung điểm của DC.

Nên HG là đường trung bình của ΔDAC.

⇒ HG // AC và HG = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EF // HG và EF = HG.

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Ta lại có: BD ⊥ AC (giả thiết)

Mà EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD.

Trong ΔABD ta có EH là đường trung bình (do E là trung điểm của AB, H là trung điểm của AD)

⇒ EH // BD

Suy ra: EF ⊥ EH hay $\widehat{FEH}$ = 90^o

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.