Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 123 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh rằng $\widehat{HAB}=\widehat{MAC}$.

b) Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Lời giải:

a) Ta có: AH ⊥ BC (giả thiết)

⇒ $\widehat{HAB}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{B}$ = 90^o

Lại có: $\widehat{B}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{C}$ = 90^o (vì ΔABC có $\widehat{A}$= 90^o)

Suy ra $\widehat{HAB}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C}$ (1).

Vì ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

⇒ AM = MC = $\frac{1}{2}$BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ ΔMAC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{HAB}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{MAC}$

b) Xét tứ giác ADHE, ta có:

$\widehat{A}$ = 90^o (giả thiết)

$\widehat{ADH}$ = 90^o (vì HD ⊥ AB)

$\widehat{AEH}$ = 90^o (vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

+ Xét ∆ ADH và ∆ EHD có :

DH chung

AD = EH ( vì ADHE là hình chữ nhật)

$\widehat{ADN}=\widehat{EHD}$ = 90^o

Suy ra: ∆ ADH = ∆ EHD (c.g.c)

⇒ $\widehat{HAD}=\widehat{HED}$

Lại có: $\widehat{HED}+\widehat{AED}=\widehat{HEA}$ = 90^o

Suy ra: $\widehat{AED}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{HAD}$ = 90^o

Mà $\widehat{HAD}=\text{\hspace{0.17em}}\widehat{MAE}$(chứng minh trên)

⇒ $\widehat{AED}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{MAE}$ = 90^o

Gọi I là giao điểm của AM và DE.

Trong ΔAIE ta có:

$\widehat{AIE}$ = 180^o – ($\widehat{AED}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{MAE}$ )

= 180^o - 90^o = 90^o

Vậy AM ⊥ DE.

*Phương pháp giải:

a) Chứng minh tam giác cân rồi suy ra 2 góc bằng nhau

b)Chưng sminh bằng cách sử dụng định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc

*Lý thuyết:

1. Hai tam giác bằng nhau:

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau ta viết$\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

$\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$nếu$\begin{array}{l}AB=A\text{'}B\text{'},BC=B\text{'}C\text{'},CA=C\text{'}A\text{'}.\\ \widehat{A}=\widehat{A\text{'}},\widehat{B}=\widehat{B\text{'}},\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}.\end{array}$

2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường:

a. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của hai tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và DEF có:$\begin{array}{l}AB=DE\\ BC=\text{EF}\\ CA=FD\end{array}$thì$\Delta ABC=\Delta D\text{EF}$(c.c.c)

b. Trường hợp bằng nhau thứ hai của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và MNP có:

$\begin{array}{l}AB=MN\\ \widehat{A}=\widehat{M}\\ AC=MP\end{array}$thì$\Delta ABC=\Delta MNP$(c.g.c)

*Hệ quả:Nếu hai cạnh góc vuông của hai tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thi hai tam giác vuông đó bằng nhau.

c. Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh (g.c.g)

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một góc và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A'B'C' có:

$\begin{array}{l}\widehat{A}=\widehat{A\text{'}}\\ AB=A\text{'}B\text{'}\\ \widehat{B}=\widehat{B\text{'}}\end{array}$

Thì$\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$(g.c.g)

Hệ quả 1:Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vuông này bằng cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hệ quả 2:Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

tương ứng của hai tam giác bằng nhau theo đúng thứ tự, ta viết được các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau.