Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 122 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.

a) Chứng minh rằng AH = DE;

b) Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI // EK.

Lời giải:

a) Xét tứ giác ADHE, ta có:

$\widehat{A}$ = 90^o (gỉa thiết)

$\widehat{ADH}$ = 90^o (vì HD ⊥ AB)

$\widehat{AEH}$ = 90^o (Vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

Vậy AH = DE (tính chất hình chữ nhật).

b) Tam giác BDH vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH

⇒ DI = IB = $\frac{1}{2}$BH (tính chất tam giác vuông)

⇒ ΔIDB cân tại I

⇒ $\widehat{DIB}={180}^0-2\widehat{B}$ (1)

Tam giác HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC.

⇒ EK = KH = $\frac{1}{2}$HC (tính chất tam giác vuông) .

⇒ ΔKHE cân tại K

⇒ $\widehat{EKH}={180}^0-2\widehat{KHE}$ (2)

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:

HE // AD hay HE // AB

⇒ $\widehat{B}=\widehat{KHE}$ (đồng vị) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat{DIB}=\widehat{EKH}$

Vậy DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).