Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 118 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Lời giải:

* Trong ΔBCD, ta có:

E là trung điểm của BC và F là trung điểm của BD (giả thiết)

Suy ra EF là đường trung bình của ΔBCD.

⇒ EF // CD và EF = $\frac{1}{2}$CD (1)

* Trong ΔACD, ta có:

H là trung điểm của AC và G là trung điểm của AD.

Suy ra HG là đường trung bình của ΔACD.

⇒HG // CD và HG = $\frac{1}{2}$CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EF // HG và EF = HG.

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

* Mặt khác: EF // CD (chứng minh trên)

Mà AB ⊥ CD (giả thiết)

Suy ra EF ⊥ AB

Trong ΔABC ta có HE là đường trung bình

⇒ HE // AB

Suy ra: HE ⊥ EF (quan hệ từ vuông góc đến song song)  hay $\widehat{FEH}$ = 90^o

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Do đó: EG = FH (tính chất hình chữ nhật)