Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 114 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.

b) Điểm M ở vị trí nào trên BC thì đoạn DE có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Xét tứ giác ADME, ta có:

 = 90^o (giả thiết)

MD ⊥ AB (giả thiết)

⇒ $\widehat{ADM}$ = 90^o

Lại có, MD ⊥ AC ⇒ $\widehat{MEA}$ = 90°

Do đó, tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

∆ABC vuông cân tại A

⇒$\widehat{B}$ = 45^o và AB = AC = 4cm

Suy ra: ∆DBM vuông cân tại D

⇒ DM = DB.

Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:

2(AD + DM) = 2(AD + DB)

= 2AB = 2.4 = 8 (cm)

b) Gọi H là trung điểm của BC

Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân)

Do đó, AM ≥ AH (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Dấu " = " xảy ra khi M trùng với H.

Tứ giác ADME là hình chữ nhật .

⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật).

Suy ra: DE ≥ AH.

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi và chỉ khi điểm M là trung điểm của BC.