Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 115 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra: G là trọng tâm của ΔABC .

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Lại có, điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (= 2GM) (l)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE ( = 2GN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét ΔBCM và ΔCBN, có:

BC cạnh chung

$\widehat{BCM}=\widehat{CBN}$ (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c).

⇒  $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$

⇒ ΔGBC cân tại G

⇒ GB = GC ⇒ BD = CE

Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.