Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Bài 12 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.

b) So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu của CD và AB.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AD = BC (hình thang ABCD cân)

CD cạnh chung

Suy ra: ΔADC = ΔBCD (c.c.c)

Suy ra: $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$

Hay $\widehat{OCD}=\widehat{ODC}$

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: OD = OC (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Ta có: $AN=BM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$

Mà OA = OB ⇒ OM = ON

Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO

Trong ΔOCD, ta có: $\frac{MO}{MD}=\frac{NO}{NC}=\frac{1}{3}$

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét)

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong ΔOCD, ta có: MN // CD

Suy ra: $\frac{OM}{OD}=\frac{MN}{CD}$  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: $\frac{MN}{CD}=\frac{OM}{4OM}=\frac{1}{4}$

Suy ra: MN = $\frac{1}{4}$CD = $\frac{1}{4}$.5,6 = 1,4 (cm).

Ta có: MB = MD (gt)

Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM

Lại có: AB // CD (gt), MN //CD suy ra: MN // AB

Ta có: MN // AB, áp dụng hệ quả định lý Ta – let ta được: $\frac{OM}{OB}=\frac{MN}{AB}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra:  $\frac{MN}{AB}=\frac{OM}{2OM}=\frac{1}{2}$.

Vậy: AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8(cm).

b) Ta có: $\frac{CD\text{}-AB}{2}=\frac{5,6-2,8}{2}=1,4cm$

Mà MN = 1,4 cm

Vậy  $MN\text{}=\frac{CD-AB}{2}$.