Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE/ED = p/q

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Bài 11 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Lời giải:

Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I.

Trong ΔADC, ta có: EI // CD

Suy ra: $\frac{AE}{AD}=\frac{EI}{CD}$

Suy ra: $EI=\frac{AE}{AD}.CD\left(1\right)$  

Lại có: $\frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}$ (giả thiết)

Suy ra: $\frac{AE}{AD}=\frac{AE}{AE+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ED}=\frac{p}{q+p}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $EI=\frac{p}{p+\text{}q}.CD$ .

Trong ΔABC, ta có: FI // AB

Suy ra: $\frac{BF}{FC}=\frac{AI}{IC}$ (định lí ta-lét) (3)

Trong ΔADC, ta có : EI // CD

Suy ra: $\frac{AE}{ED}=\frac{AI}{IC}$ (định lí ta-lét) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}$

Trong ΔABC, ta có: IF // AB

Suy ra: $\text{}\frac{IF}{AB}=\frac{CF}{CB}$  (định lí ta-lét)

Suy ra: $\text{}I\text{}F=\frac{CF}{CB}.AB$  ( 5)

Ta có: $\frac{BF}{C\text{}F}=\frac{p}{q}$ ( chứng minh trên)

Suy ra: 

$\frac{CF\text{}}{B\text{}F}=\frac{q}{p}\Rightarrow \frac{CF\text{}}{C\text{}F+BF}=\frac{q}{p+q}\Rightarrow \frac{CF\text{}}{BC}=\frac{q}{p+q}\text{ (6)}$

Từ (5) và (6) suy ra: $\text{}IF=\frac{q}{p+\text{}q}AB$

Vậy: 

$E\text{}F=EI+IF=\frac{p}{p+\text{}q}.CD+\text{\hspace{0.17em}}\frac{q}{p+\text{}q}.AB=\frac{p.CD+\text{}qAB}{p+\text{}q}$

(điều phải chứng minh).