Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Bài 2.3 trang 86 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

a) $\frac{OM}{ON}=\frac{AB}{CD}$;

b) $\frac{OH}{OK}=\frac{BC}{AD}$.

Lời giải:

a) Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

 $\frac{OM}{ON}=\frac{MA}{NC}$hay $\frac{OM}{ON}=\frac{MB}{ND}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{MA}{NC}=\frac{MB}{ND}=\frac{MA\text{}+\text{\hspace{0.17em}}MB}{NC+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ND}=\frac{AB}{CD}$

 $\Rightarrow \frac{OM}{ON}=\frac{AB}{CD}$ (điều phải chứng minh).

b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

S_AEO = S_BFO (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

S_DEO = S_CFO (2)

Từ (1) và (2) suy ra : S_OAD = S_OBC (3)

Suy ra: OH.AD = OK.BC

 $\iff \frac{OH}{OK}=\frac{BC}{AD}$ (điều phải chứng minh).