Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm các đường chéo AC, BD thứ tự

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Bài 13 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:

a) MN // AB;

b) $MN=\frac{CD-AB}{2}$.

Lời giải:

a) Gọi P là trung điểm của AD, nối PM

Trong ΔDAB ta có: $\frac{PA}{AD}=\frac{1}{2};\frac{BM}{BD}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{PA}{AD}=\frac{BM}{BD}$ .

Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1)

Trong ΔACD, ta có $\frac{AP}{AD}=\frac{1}{2};\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{AP}{AD}=\frac{AN}{AC}$.

Suy ra: PN // CD (định lí đảo định lí Ta-lét) (2)

Lại có AB // CD (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.

Vậy MN // CD hay MN // AB.

b) Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:

 $PM=\frac{AB}{2}$ (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ΔACD nên:

$PN=\frac{CD}{2}$ (tính chất đường trung hình tam giác)

Mà PN = PM + MN

Suy ra: $MN=PN-PM=\frac{CD}{2}-\frac{AB}{2}=\frac{CD\text{}-\text{}AB}{2}$ (điều phải chứng minh).