Công thức tính xác suất đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tính xác suất - Toán lớp 11

1. Tổng hợp lý thuyết

a)  Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu $\Omega$ là một tập hữu hạn.

Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng ${\Omega }_A\subset \Omega$. Xác suất của biến cố A,  kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức

$P\left(A\right)=\frac{\left.{\Omega }_A\right|}{\left.\Omega \right|}$

Trong đó: $\left.{\Omega }_A\right|$ là số phần tử của biến cố A

$\left.\Omega \right|$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.

* Tính chất

$\begin{array}{l}0\le P\left(A\right)\le 1\\ P\left(\Omega \right)=1\\ P(\varnothing )=0\end{array}$

b) Các quy tắc tính xác suất

* Quy tắc cộng

- Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

- Nếu các biến cố A₁ ; A₂; A₃ ; _… A_n đôi một xung khắc với nhau thì

- Công thức tính xác suất của biến cố đối: $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

- Mở rộng : Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

* Quy tắc nhân

- Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$

2. Các công thức

* Công thức xác suất cổ điển: $P\left(A\right)=\frac{\left.{\Omega }_A\right|}{\left.\Omega \right|}$

Trong đó: $\left.{\Omega }_A\right|$ là số phần tử của biến cố A

$\left.\Omega \right|$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.

* Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

* Công thức tính xác suất của biến cố đối: $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

* Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$

* Công thức mở rộng:

- Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

- Nếu k biến cố A₁ ; A₂; _… A_k đôi một xung khắc thì

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp có 8 viên bi xanh và 7 viên bi vàng. Lấy ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất lấy được:

a) 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng

b) Có ít nhất 1 viên bi vàng

c) Có đủ 2 màu

Lời giải

Không gian mẫu: $\Omega$: “Lấy 4 viên bi ra từ hộp”

Số phần tử của không gian mẫu $\left.\Omega \right|=C_{15}^4$.

a) Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng”

Số cách chọn được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng là:  $\left.A\right|=C_8^2.C_7^2$

Xác suất để lấy được 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng là: $P\left(A\right)=\frac{\left.A\right|}{\left.\Omega \right|}=\frac{C_8^2.C_7^2}{C_{15}^4}=\frac{28}{65}$.

b) Gọi B là biến cố: “Có ít nhất 1 viên bi màu vàng”

Khi đó  là biến cố: “Không lấy được bi màu vàng”

Số cách chọn không có màu vàng là: $\left.\overline{B}\right|=C_8^4$

Xác suất để lấy được ít nhất 1 viên bi màu vàng là: $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{C_8^4}{C_{15}^5}=\frac{37}{39}$.

c) Gọi C là biến cố: “Có đủ 2 màu”

Khi đó  là biến cố: “Không có đủ 2 màu”

Trường hợp 1: Chọn được 4 viên bi cùng màu xanh: $C_8^4$ cách

Trương hợp 2: Chọn được 4 viên bi cùng màu vàng: $C_7^4$ cách

Số cách chọn không đủ hai màu là: $C_8^4+C_7^4$

Xác suất để chọn được 4 viên bi đủ hai màu là: $P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=1-\frac{C_8^4+C_7^4}{C_{15}^4}=\frac{12}{13}$.

Ví dụ 2:

a) Cả 2 người cùng bắn trúng

b) Có đúng một người bắn trúng

c) Không ai bắn trúng

Lời giải

Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,4

B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7

A, B là hai biến cố độc lập

Khi đó:

$\overline{A}$ là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,4=0,6$

$\overline{B}$ là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,7=0,3$.

a) Ta có: $A\cap B$ là biến cố: “Cả hai người cùng bắn trúng”

Xác suất để cả hai người bắn trúng là: $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)=0,4.0,7=0,28$.

b) Gọi C là biến cố: “Có đúng một người bắn trúng”

Ta có: $C=\left(A\cap \overline{B}\right)\cup \left(\overline{A}\cap B\right)$

Xác suất để có đúng một người bắn trúng là:

$P\left(C\right)=P\left(A\right)P\left(\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)=0,4.0,3+0,6.0,7=0,54$

c) Ta có $\overline{A}\cap \overline{B}$ là biến cố: “Cả hai người bắn không trúng”

Xác suất để không ai bắn trúng là: $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}\right)=0,6.0,3=0,18$.