50 bài tập về Quy tắc đếm (có đáp án 2024) và cách giải

Quy tắc đếm và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Quy tắc cộng

* Định nghĩa:

Giả sử một công việc A được thực hiện theo k phương án khác nhau.

Phương án A₁ có m₁ cách thực hiện;

Phương án A₂ có m₂ cách thực hiện;

…

Phương án A_k có m_k cách thực hiện;

Thì có m₁ + m₂ + … + m_k cách thực hiện A.

* Công thức quy tắc cộng:

Nếu A₁; A₂; … ; A_k đôi một rời nhau. Khi đó

b) Quy tắc nhân

Giả sử một công việc A được thực hiện theo k công đoạn liên tiếp.

Công đoạn A₁ có m₁ cách thực hiện;

Công đoạn A₂ có m₂ cách thực hiện;

…

Công đoạn A_k có m_k cách thực hiện;

Thì có m₁.m₂. … m_k cách thực hiện A.

* Công thức quy tắc nhân:

Nếu A₁; A₂; … ; A_k đôi một rời nhau. Khi đó

c) Cách đếm

* Đếm trực tiếp:

- Chia các trường hợp có thể xảy ra

- Đếm số phương án thực hiện trong các trường hợp

- Kết quả của bài toán đếm là tổng số phương án đếm được trong các trường hợp trên.

* Đếm gián tiếp (Đếm phần bù): Dùng khi thực hiện công viêc phải chia nhiều trường hợp.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Bài toán đếm số tự nhiên

Phương pháp giải:

* Lập số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

- Gọi số tự nhiên có ba chữ số là $\overline{abc}$ với $a,b,c\in \mathbb{N};1\le a\le 9;0\le b,c\le 9$.

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là $\overline{abcd}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{N};1\le a\le 9;0\le b,c,d\le 9$.

Tương tự với số có hai, năm, sáu,… chữ số.

- Chọn chữ số có điều kiện trước, chữ số không có điều kiện sau (Chẳng hạn chọn chữ số a trước vì có điều kiện $a\ne 0$. Ở bài toán đếm số chẵn, lẻ, chia hết cho 2, 5, 10 thì đếm chữ số hàng đơn vị trước)

- Dùng quy tắc cộng, nhân để đếm số cần lập.

* Phân biệt cách dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân:

- Quy tắc cộng: Một công việc có thể thực hiện được theo các phương án khác nhau, xảy ra phương án 1 thì sẽ không xảy ra phương án 2.

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành khi phải thực hiện liên tiếp các công đoạn.

* Một số dấu hiệu khi lập số

- Dấu hiệu chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

- Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là 0; 5.

- Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.

- Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9.

- Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữa số tận cùng chia hết cho 4.

- Dấu hiệu chia hết cho 6: Chia hết cho cả 2 và 3.

- Số tự nhiên chẵn: Chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

- Số tự nhiên lẻ: Chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

a) Số gồm 5 chữ số.

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau.

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

d) Số gồm 5 chữ số lớn hơn 60000.

e) Số gồm 5 chữ số khác nhau, chứa chữ số 2 và chia hết cho 2.

Lời giải

Gọi số có 5 chữ số cần lập là $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e\in \left.1;2;3;4;5;6;7\right\}$.

a) Số gồm 5 chữ số

Chọn a: có 7 cách chọn

Chọn b: có 7 cách chọn

Chọn c: có 7 cách chọn

Chọn d: có 7 cách chọn

Chọn e: có 7 cách chọn

Vậy có 7⁵ số.

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau.

Chọn a từ tập A: có 7 cách chọn

Chọn b từ tập A\{a} (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn c từ tập A\{a; b} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn d từ tập A\{a; b; c} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn e từ tập A\{a; b; c; d} (có 4 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 7.6.5.4.3 = 2520 số.

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2

$\overline{abcde}$ chia hết cho 2 nên $e\in \left.2;4;6\right\}$

Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ tập A\{e} (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn b từ tập A\{e; a} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn c từ tập A\{e; a; b} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn d từ tập A\{e; a; b; c} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 3.6.5.4.3 = 1080 số.

d) Số gồm 5 chữ số lớn hơn 60000.

Vì $\overline{abcde}>60000$

Nên $a\in \left.6;7\right\}$. Chọn a: có 2 cách chọn

Chọn b từ tập A\{a} (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn c từ tập A\{a; b} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn d từ tập A\{a; b; c} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn e từ tập A\{a; b; c; d} (có 4 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 2.6.5.4.3 = 720 số.

e) Số gồm 5 chữ số khác nhau, chứa chữ số 2 và chia hết cho 2.

+ Số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 có 1080 số (câu c)

+ Ta lập số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và không chứa chữ số 2:

$\overline{abcde}$ chia hết cho 2 và không chứa 2 nên $e\in \left.4;6\right\}$

Chọn e: có 2 cách chọn

Chọn a từ tập A\{2; e} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn b từ tập A\{2; e; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{2; e; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{2; e; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 2.5.4.3.2 = 240 số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và không chứa chữ số 2.

Vậy có 1080 – 240 = 840 số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và chứa chữ số 2.

Ví dụ 2:

a) Số lẻ có 5 chữ số khác nhau

b) Số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Lời giải

a) Gọi số có 5 chữ số cần lập là $\overline{abcde}$ với $a\ne 0$, các chữ số được lấy từ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

$\overline{abcde}$ là số lẻ nên $e\in \left.1;3;5\right\}$. Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ tập A\{0; e} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn b từ tập A\{e; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{e; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{e; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Vậy có 3.4.4.3.2 = 288 số lẻ có 5 chữ số khác nhau.

b) Gọi số có 5 chữ số cần lập là $\overline{abcde}$ với $a\ne 0$, các chữ số được lấy từ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

$\overline{abcde}$ chia hết cho 5 nên $e\in \left.0;5\right\}$

+ Trương hợp 1: e = 0

Chọn a từ tập A\{0} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn b từ tập A\{0; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{0; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{0; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 5.4.3.2 = 120 số.

+ Trường hợp 2: e = 5

Chọn a từ tập A\{0; 5} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn b từ tập A\{5; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{5; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{5; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 4.4.3.2 = 96 số.

Vậy có tất cả 120 + 96 = 216 số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Dạng 2: Bài toán đếm trong thực tế, phân công công việc

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

Lời giải

Cách 1: Làm bằng cách liệt kê các con đường đi:

Căn cứ vào sơ đồ trên, ta có các con đường đi là: 1a, 1b, 1c, 1d, 2a, 2b, 2c, 2d, 3a, 3b, 3c, 3d. Vậy có 12 con đường.

Cách 2: Sử dụng quy tắc nhân

Đi từ A đến B có 3 con đường

Đi từ B đến C có 4 con đường

Vậy để đi từ A đến C có 3.4 = 12 con đường.

Ví dụ 2:

a) Một bạn phụ trách lớp trưởng?

b) Hai bạn, trong đó có 1 bạn nam và 1 bạn nữ?

Lời giải

a) Chọn 1 bạn phụ trách lớp trưởng

Trường hợp 1: Chọn 1 bạn nam: có 18 cách chọn

Trường hợp 2: Chọn 1 bạn nữ: có 12 cách chọn

Vậy có 18 + 12 cách chọn.

b) Chọn 2 bạn, trong đó có 1 bạn nam và một bạn nữ

Chọn 1 bạn nam: có 18 cách chọn

Chọn 1 bạn nữ: có 12 cách chọn

Vậy có 18.12 = 216 cách chọn.

Dạng 3: Bài toán hình học

Phương pháp giải:

* Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

* Chú ý:

- Đếm vectơ: Hai điểm đầu và cuối khác nhau (Tức là vectơ AB và vectơ BA tính 2 lần đếm khác nhau).

- Đếm đoạn thẳng: Hai đầu mút có vai trò như nhau (Tức là đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA chỉ tính 1 lần đếm)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

A. 1050

B. 675

C. 1725

D. 708750

Lời giải

Chọn C

+ Trường hợp 1: Chọn 2 điểm từ d và 1 điểm từ d’

Chọn điểm thứ nhất từ d: có 10 cách chọn

Chọn điểm thứ hai từ d: có 9 cách chọn

Vì thay đổi thứ tự lấy điểm không tạo ra cách chọn mới nên số cách chọn 2 điểm từ đường thẳng d là $\frac{9.10}{2}=45$ cách chọn.

Chọn 1 điểm từ d’: có 15 cách chọn

Như vậy có 45.15 = 675 cách chọn tam giác từ 2 điểm thuộc d và 1 điểm thuộc d’.

+ Trường hợp 2: Chọn 2 điểm từ d’ và 1 điểm từ d

Chọn điểm thứ nhất từ d’: có 15 cách chọn

Chọn điểm thứ hai từ d’: có 14 cách chọn

Vì thay đổi thứ tự lấy điểm không tạo ra cách chọn mới nên số cách chọn 2 điểm từ đường thẳng d’ là $\frac{15.14}{2}=105$ cách chọn.

Chọn 1 điểm từ d: có 10 cách chọn.

Như vậy có 105.10 = 1050 cách chọn tam giác từ 2 điểm thuộc d’ và 1 điểm thuộc d.

Vậy có 675 + 1050 = 1725 tam giác được tạo ra.

Ví dụ 2.

A. 870

B. 435

C. 30²

D. 2³⁰

Lời giải

Chọn A

Chọn điểm đầu: có 30 cách chọn

Chọn điểm cuối: có 29 cách chọn

Vậy có 30.29 = 870 vectơ được lấy từ 30 điểm.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. 36

B. 18

C. 256

D. 216

Câu 2.

A. 12

B. 24

C. 64

D. 256

Câu 3.

A. 3260

B. 3024

C. 5436

D. 12070

Câu 4.

A. 154

B. 145

C. 144

D. 155

Câu 5.

A. 9

B. 5

C. 4

D. 20

Câu 6.

A. 10

B. 18

C. 12

D. 27

Câu 7.

A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

Câu 8.

A. 910 000

B. 91 000

C. 910

D. 605

Câu 9.

A. 12

B. 220

C. 60

D. 3

Câu 10.

A. 6

B. 72

C. 720

D. 144

Câu 11.

A. 6

B. 4

C. 10

D. 24

Câu 12.

A. 24

B. 10

C. 6

D. 4

Câu 13.

A. 60

B. 12

C. 20

D. 15

Câu 14.

A. 4860

B. 2250

C. 4500

D. 729

Câu 15.

A. 190

B. 380

C. 20²

D. 2²⁰

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	B	B	C	D	C	D	B	C	B	D	B	A	B	A