Công thức tổ hợp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tổ hợp - Toán lớp 11

1. Tổng hợp lý thuyết

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, ($1\le k\le n$). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

- Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{A_n^k}{k!}$.

- Tính chất:

$\begin{array}{l}{C}_n^0=C_n^n=1\\ C_n^k=C_n^{n-k},(0\le k\le n)\\ C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1},(1\le k\le n)\end{array}$

- Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: $0\le k\le n$

2. Các công thức

Công thức tổ hợp: $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{A_n^k}{k!}$

Công thức tính chất của tổ hợp:

$\begin{array}{l}{C}_n^0=C_n^n=1\\ C_n^k=C_n^{n-k},(0\le k\le n)\\ C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1},(1\le k\le n)\end{array}$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:

a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm

b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó

c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Lời giải

a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: $C_{12}^2=66$ cách.

b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: $A_{12}^2=132$ cách.

c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn

Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: $C_{10}^5=252$ cách.

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: $C_5^5=1$ cách.

Vậy có 252.1 = 252 cách.

Ví dụ 2: Một hộp có 15 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, 10 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 viên sao cho

a) Các viên bi cùng màu

b) Số bi xanh bằng số bi đỏ, biết luôn có bi xanh và đỏ

c) Có ít nhất 1 viên bi xanh

Lời giải

a) Chọn 5 viên bi cùng màu

+ Trường hợp 1: Chọn được 5 viên bi màu đỏ: $C_{15}^5=3003$ cách.

+ Trường hợp 2: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có $C_5^5=1$ cách.

+ Trường hợp 3: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có $C_{10}^5=252$ cách.

Vậy có 3003 + 1 + 252 = 3256 cách chọn.

b) Chọn được 5 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

+ Trường hợp 1: có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng: $C_5^1.C_{15}^1.C_{10}^3=9000$ cách.

+ Trường hợp 2: có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng: $C_5^2.C_{15}^2.C_{10}^1=10500$ cách.

Vậy có 9000 + 10500 = 19500 cách chọn.

c) Chọn được ít nhất 1 viên bi xanh

Số cách chọn 5 viên bi bất kì là: $C_{30}^5=142506$ cách.

Số cách chọn 5 viên trong đó không có bi xanh là: $C_{25}^5=53130$ cách.

Vậy số cách chọn được ít nhất 1 viên bi xanh là: 142506 – 53130 = 89376 cách chọn.