50 bài tập về Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Tính chẵn, lẻ của hàm số:

* Định nghĩa:

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và f(-x) = f(x).

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và f(-x) = - f(x).

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

* Đối với hàm số lượng giác:

- Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên D = R.

- Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên D = R.

- Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

- Hàm số y = cotx là hàm số lẻ trên $D=ℝ\backslash \left.k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Tính tuần hoàn và chu kì của hàm số:

* Định nghĩa:

- Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\ne 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có $(x+T)\in D$; $(x-T)\in D$ và f(x + T) = f(x).

- Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.

* Đối với hàm số lượng giác:

Hàm số y = sinx; y = cosx tuần hoàn với chu kì $2\mathrm{\pi }$.

Hàm số y = tanx; y = cotx tuần hoàn với chu kì $\mathrm{\pi }$.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

- Nếu D là tập đối xứng (tức là $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), ta thực hiện tiếp bước 2.

- Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là $\exists x\in D$ mà $-x\notin D$), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định f(-x), khi đó:

- Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.

- Nếu f(-x) = - f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.

- Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) y = f(x) = sinx + tan2x

b) y = f(x) = cos3x + sin²2x

c) y = f(x) = cosx + tan2x

Lời giải

a) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có: f(-x) = sin(-x) + tan(-2x) = - sinx – tan2x = - (sinx + tan2x) = -f(x).

Vậy y = sinx + tan2x là hàm số lẻ.

b) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có: f(-x) = cos(-3x) + sin²(-2x) = cos3x + (-sin2x)² = cos3x + sin²2x = f(x).

Vậy y = cos3x + sin²2x là hàm số chẵn.

c) Điều kiện xác định:

$\cos 2x\ne 0\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$.

$\forall x\in D\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$, ta có:

$-x\ne -\frac{\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}-\frac{k\pi }{2}$$=\frac{\pi }{4}-\frac{(k+1)\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

Đặt $m=-(k+1),k\in \mathbb{Z}$, khi đó: $-x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2};m\in \mathbb{Z}\Rightarrow -x\in D$.

Ta có: f(-x) = cos(-x) + tan(-2x) = cosx – tan2x

Nhận thấy: $f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)$ và $f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)$

Vậy f(x) = cosx + tan2x không phải là hàm số chẵn, không phải là hàm số lẻ.

Ví dụ 2:

a) y = f(x) = |x|sinx

b) y = f(x) = cos(2x+1)

c) $y=f\left(x\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right).{\cos }^{3}x$

d) $y=f\left(x\right)=\frac{\sin x+\tan 2x}{2\cot x}$

Lời giải

a) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có: f(-x) = |-x|sin(-x) = x.(-sinx) = -x.sinx = -f(x)

Vậy y = |x|sinx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có: f(-x) = cos[2(-x)+1] = cos(-2x+1) = cos(2x-1)

Nhận thấy $f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)$ và $f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)$

Vậy hàm số y = cos(2x-1) không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ.

c) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

$y=f\left(x\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right).{\cos }^{3}x$

$=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\left(-2x\right)\right).{\cos }^{3}x$=cos(-2x).cos³x = cos2x.cos³x

Ta có: f(-x) = cos(-2x) cos³(-x) = cos2xcos³x = f(x)

Vậy hàm số $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right).{\cos }^{3}x$ là hàm số chẵn.

d) Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}\cos 2x\ne 0\\ \sin x\ne 0\\ \cot x\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\iff x\ne \frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left.\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}\right\}$

$\forall x\in D\Rightarrow x\ne \frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$, ta có: $-x\ne -\frac{k\pi }{4}=\frac{\left(-k\right)\pi }{4};$ $-k\in \mathbb{Z}$, khi đó $-x\in D$

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left(-x\right)=\frac{\sin \left(-x\right)+\tan \left(-2x\right)}{2\cot \left(-x\right)}=\frac{-\sin x-\tan 2x}{-2\cot x}\\ =\frac{\sin x+\tan 2x}{\cot x}=f\left(x\right)\end{array}$

Vậy $y=\frac{\sin x+\tan 2x}{2\cot x}$ là hàm số chẵn.

Dạng 2: Xét tính tuần hoàn, tìm chu kỳ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

- Xét tính tuần hoàn và chu kì bằng định nghĩa.

- Sử dụng các kết quả sau:

+ Hàm số y = sin(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{a}$.

+ Hàm số y = cos(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{a}$.

+ Hàm số y = tan(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{a}$.

+ Hàm số y = cot(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{a}$.

+ Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = Af(x) (với A khác 0) tuần hoàn với chu kì T.

+ Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = f(x) + c (c là hằng số) tuần hoàn với chu kì T.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) y = sin2x +1

b) $y=-3tan\left(4x+\frac{\pi }{3}\right)$

c) y = cos²x -1

d) y = sin²(2x - 3) + 5

Lời giải

a) Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$.

Vậy hàm số y = sin2x +1 tuần hoàn với chu kì $\mathrm{\pi }$.

b) Hàm số $y=-3tan\left(4x+\frac{\pi }{3}\right)$ tuần hoàn theo chu kì $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

c) Ta có: $y={\cos }^{2}x-1=\frac{1+\cos 2x}{2}-1=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}$

Hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$.

Vậy hàm số y = cos²x - 1 tuần hoàn với chu kì $\mathrm{\pi }$.

d) Ta có: $y={\sin }^2\left(2x-3\right)+5=\frac{1-\cos \left(4x-6\right)}{2}+5$$=-\frac{1}{2}\cos \left(4x-6\right)+\frac{11}{2}$.

Hàm số y = cos(4x+6) tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$.

Vậy hàm số y = sin²(2x-3) + 5 tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{2}$.

Ví dụ 2:

a) $y=sin3x+tan\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$

b) $y=co{s}^{2}x–sin\frac{x}{2}+1$

c) y = sin4x.cos2x

d) $y=\sin x+\cos \left(\sqrt{2}x\right)$

Lời giải

a) Hàm số y = sin3x tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{3}$.

Hàm số $y=tan\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Vậy hàm số $y=sin3x+tan\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của $\frac{2\pi }{3}$ và $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, do đó $T=2\pi$.

b) Hàm số $y={\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$.

Hàm số $y=\sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $2\pi :\frac{1}{2}=4\pi$.

Vậy hàm số $y=co{s}^{2}x–sin\frac{x}{2}+1$ tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của $\mathrm{\pi }$ và $4\mathrm{\pi }$, do đó $T=4\mathrm{\pi }$.

c) Ta có: y = sin4x.cos2x$=\frac{1}{2}\left.\sin \left(4x+2x\right)+\sin \left(4x-2x\right)\right]$$=\frac{1}{2}\left(\sin 6x+\sin 2x\right)$

Hàm số y = sin6x tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$.

Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$.

Vậy hàm số y = sin4x.cos2x tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của $\frac{\pi }{3}$ và $\mathrm{\pi }$, do đó $T=\mathrm{\pi }$.

d) Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì $2\mathrm{\pi }$.

Hàm số $y=\cos \left(\sqrt{2}x\right)$ tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\pi$.

Giả sử T là bội chung nhỏ nhất của $2\mathrm{\pi }$ và $\sqrt{2}\pi$. Khi đó tồn tại $m,n\in \mathbb{Z};m,n\ne 0$ sao cho: $T=m2\pi =n\sqrt{2}\pi$.

$\Rightarrow \frac{n}{m}=\frac{2\pi }{\sqrt{2}\pi }=\sqrt{2}$ (vô lí vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ, $\frac{n}{m}$ là số hữu tỉ)

Do đó không tồn tại bội chung nhỏ nhất của $2\mathrm{\pi }$ và $\sqrt{2}\pi$.

Vậy hàm số $y=\sin x+\cos \left(\sqrt{2}x\right)$ không tuần hoàn.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn

B. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ

C. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn

D. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ

Câu 2.

A. y = sinx

B. y = cos2x

C. y = cotx

D. y = tan3x

Câu 3.

A. y = sin²x + cosx

B. y = sinx – sin²x

C. y = cot2x.cosx

D. y = sinx.cos2x

Câu 4.

A. Hàm số là hàm số lẻ

B. Hàm số là hàm số chẵn

C. Hàm số không chẵn không lẻ

D. Hàm số có tập xác định D = R\{3}

Câu 5.

A. sinx.cos3x

B. $\frac{\cot x}{{\cos }^{3}x+4}$

C. cosx + sin2x

D. ${\sin }^{3}x\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$

Câu 6.

A. $\frac{\sin 3x+1}{\cos x}$

B. $\frac{\sin x+x}{\cos 2x+2}$

C. ${\tan }^{2}2x$

D. $\left.\cot 4x\right|$

Câu 7.

A. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

B. sin³x

C. $y=3\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

D. $y=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$

Câu 8.

A. $6\mathrm{\pi }$

B. $\mathrm{\pi }$

C. $3\mathrm{\pi }$

D. $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Câu 9.

A. $2\mathrm{\pi }$

B. $4\mathrm{\pi }$

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

D. $\mathrm{\pi }$

Câu 10.

A. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

B. $4\mathrm{\pi }$

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

D. $\mathrm{\pi }$

Câu 11.

A. $4\mathrm{\pi }$

B. $\mathrm{\pi }$

C. $2\mathrm{\pi }$

D. $6\mathrm{\pi }$

Câu 12.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 13.

A. $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

B. $2\mathrm{\pi }$

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

D. $\mathrm{\pi }$

Câu 14.

A. y = tan²2x + 1

B. y = sin5x – 4cos7x

C. $y=\sin x+\sin \left(x\sqrt{2}\right)$

D. $y=3\sin 2x-\sqrt{2}$

Câu 15.

A. y = sin x – x

B. y = -2cos3x + 2

C. y = xsin2x

D. y = x⁴ + x² + 1

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	A	A	D	B	B	A	D	D	C	A	D	C	B