Anonymous

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx hay nhất - Toán lớp 11

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

y = asinx + bcosx $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x)$

(Điều kiện: $a^{2} + b^{2} \neq 0$ )

Đặt $\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}; \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Khi đó: $y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . (\sin x \cos α + \cos x \sin α)$

$\Leftrightarrow y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sin (x + α)$

Công thức đặc biệt:

2. Công thức

a) Giải phương trình asinx + bcosx = c. Phương trình có nghiệm khi $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$ .

Ta có: $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

$\Rightarrow \sin (x + α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ với $\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}; \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

(Bấm máy tính để tìm góc $α$ ).

Sau đó, đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải.

b) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có: $- \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c \leq y \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $- \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c$ và giá trị lớn nhất là $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + c$ .

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) $\sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x = \sqrt{2}$

b) cosx – sinx = 1

Lời giải

a) $\sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x = \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow \sin 2 x \cos \frac{π}{3} + \cos 2 x \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \Leftrightarrow \sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ 2 x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ 2 x = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = - \frac{π}{24} + k π \\ x = \frac{5 π}{24} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = - \frac{π}{24} + k π; x = \frac{5 π}{24} + k π; k \in ℤ$ .

b) cosx – sinx = 1

$\Leftrightarrow \sqrt{2} c o s (x + \frac{π}{4}) = 1$ (Áp dụng công thức)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Leftrightarrow \begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \\ \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) \end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = k 2 π; x = - \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

Ví dụ 2:

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

$- \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} + 1 \leq y \leq \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} + 1 \Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3$

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: $y = \sqrt{3} \sin 5 x + \cos 5 x + 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 5 x + \frac{1}{2} \cos 5 x) + 1 \\ \Leftrightarrow y = 2 (\sin 5 x \cos \frac{π}{6} + \cos 5 x \sin \frac{π}{6}) + 1 \\ \Leftrightarrow y = 2 \sin (5 x + \frac{π}{6}) + 1 \end{array}$

Ta có $- 1 \leq \sin (5 x + \frac{π}{6}) \leq 1 \forall x \in ℝ$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (5 x + \frac{π}{6}) \leq 2 \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow - 1 \leq 2 \sin (5 x + \frac{π}{6}) + 1 \leq 3 \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \end{array}$