50 bài tập về Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

Ph

1. Lý thuyết

Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác

$\begin{array}{l}\sin x=\sin \alpha \iff \begin{array}{l}x=\alpha +2k\pi \\ x=\pi -\alpha +2k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=\cos \alpha \iff \begin{array}{l}x=\alpha +2k\pi \\ x=-\alpha +2k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Phương trình lượng giác sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích

Phương pháp giải:

- Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a

$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$

- Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin³a

cos3a = 4cos³a – 3cosa

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) cosx – 2sin2x = 0

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

c) cos²x – sin2x = 0

Lời giải

a) cosx – 2sin2x = 0

$\iff \cos x-\mathrm{2.2.}\sin x\cos x=0$

$\iff \cos x\left(1-4\sin x\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ 1-4\sin x=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \sin x=\frac{1}{4}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\arcsin \frac{1}{4}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;x=\arcsin \frac{1}{4}+k2\pi ;$ $x=\pi -\arcsin \frac{1}{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

$\begin{array}{l}\iff 6\sin 4x+\mathrm{5.2.}\sin 4x\cos 4x=0\\ \iff 2\sin 4x\left(3+5\cos 4x\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \begin{array}{l}\sin 4x=0\\ 3+5\cos 4x=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\sin 4x=0\\ \cos 4x=-\frac{3}{5}\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}4x=k\pi \\ 4x=\pm \arccos \left(-\frac{3}{5}\right)+k2\pi \end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{4}\\ x=\pm \frac{1}{4}\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x=\frac{k\pi }{4};x=\pm \frac{1}{4}\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

c) cos²x – sin2x = 0

$\begin{array}{l}\iff {\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=0\\ \iff \cos x\left(\cos x-2\sin x\right)=0\\ \iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos x-2\sin x=0\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ 2\sin x=\cos x\left(*\right)\end{array}\end{array}$

Giải phương trình (*)

Trường hợp 1: cosx = 0. Thay vào (*) ta được sinx = 0

Ta thấy sin²x + cos²x = 0² + 0² = 0 (Vô lí) (Loại).

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Chia hai vế của phương trình cho cosx, ta được

$\left(*\right)\Rightarrow 2.\frac{\sin x}{\cos x}=1\iff \tan x=\frac{1}{2}$

$\iff x=\arctan \frac{1}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;x=\arctan \frac{1}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2:

Lời giải

Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0

$\begin{array}{l}\iff \sin x\left(\cos 3x-1\right)+2\left(\cos 3x-1\right)=0\\ \iff \left(\cos 3x-1\right)\left(\sin x+2\right)=0\\ \iff \begin{array}{l}\cos 3x-1=0\\ \sin x+2=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\cos 3x=1\\ \sin x=-2\text{\hspace{0.17em}}\left(Loai\right)\end{array}\\ \iff 3x=k2\pi \iff x=\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$.

Dạng 2: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

Phương pháp giải:

- Công thức biến đổi tổng thành tích

$\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

$\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$

$\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

$\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$

- Công thức biến đổi tích thành tổng

$\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left.\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]$

$\sin a.\sin b=\frac{1}{2}\left.\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]$

$\sin a.\cos b=\frac{1}{2}\left.\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

Lời giải

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

$\begin{array}{l}\iff \frac{1}{2}\left.\cos \left(5x-2x\right)-\cos \left(5x+2x\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left.\cos \left(4x-3x\right)-\cos \left(4x+3x\right)\right]\\ \iff \cos 3x-\cos 7x=\cos x-\cos 7x\\ \iff \cos 3x=\cos x\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \begin{array}{l}3x=x+k2\pi \\ 3x=-x+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}2x=k2\pi \\ 4x=k2\pi \end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{k\pi }{2}\end{array}\iff x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

$\begin{array}{l}\iff \frac{1}{2}\left.\sin \left(5x+3x\right)+\sin \left(5x-3x\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left.\sin \left(4x+2x\right)+\sin \left(4x-2x\right)\right]\\ \iff \sin 8x+\sin 2x=\sin 6x+\sin 2x\\ \iff \sin 8x=\sin 6x\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}8x=6x+k2\pi \\ 8x=\pi -6x+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}2x=k2\pi \\ 14x=\pi +k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{14}+\frac{k\pi }{7}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k\pi ;x=\frac{\pi }{14}+\frac{k\pi }{7};k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2:

a) sin3x + sin2x = sinx

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

Lời giải

a) sin3x + sin2x = sinx

$\begin{array}{l}\iff \sin 3x-\sin x+\sin 2x=0\\ \iff 2\cos \frac{3x+x}{2}.\sin \frac{3x-x}{2}+\sin 2x=0\\ \iff 2\cos 2x\sin x+2\sin x\cos x=0\\ \iff 2\sin x\left(\cos 2x+\cos x\right)=0\\ \iff 2\sin x.2\cos \frac{2x+x}{2}.\cos \frac{2x-x}{2}=0\\ \iff 4\sin x.\cos \frac{3x}{2}.\cos \frac{x}{2}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos \frac{3x}{2}=0\\ \cos \frac{x}{2}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ \frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\pi +k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k\pi ;x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

$\begin{array}{l}\iff 2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}=2\cos \frac{2x+4x}{2}\cos \frac{2x-4x}{2}\\ \iff 2\sin 2x\cos \left(-x\right)=2\cos 3x\cos \left(-x\right)\\ \iff \sin 2x\cos x-\cos 3x\cos x=0\\ \iff \cos x\left(\sin 2x-\cos 3x\right)=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \sin 2x=\cos 3x\end{array}\iff \begin{array}{l}\cos x=0\\ \sin 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ 5x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ -x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\\ x=-\frac{\pi }{2}-k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5};k\in \mathbb{Z}$.

Dạng 3: Sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp giải:

Công thức hạ bậc hai:

${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Ta có: sin²x + sin²3x = 2sin²2x

$\begin{array}{l}\iff \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=2.\frac{1-\cos 4x}{2}\\ \iff -\cos 2x-\cos 6x=-2\cos 4x\\ \iff \cos 6x+\cos 2x-2\cos 4x=0\\ \iff 2\cos \frac{6x+2x}{2}\cos \frac{6x-2x}{2}-2\cos 4x=0\\ \iff 2\cos 4x\cos 2x-2\cos 4x=0\\ \iff 2\cos 4x\left(\cos 2x-1\right)=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\cos 4x=0\\ \cos 2x=1\end{array}\iff \begin{array}{l}4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x=k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\\ x=k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4};x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2:

Lời giải

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5};x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $x=\frac{\pi }{6}$

B. $x=\frac{\pi }{2}$

C. $x=\frac{\pi }{4}$

D. $x=-\frac{\pi }{2}$

Câu 2.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\arctan \frac{1}{3}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\arctan \frac{1}{4}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\arctan \frac{1}{5}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\arctan \frac{1}{2}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 3.

A. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 4.

A. $x=k\pi$

B. $x=\frac{k\pi }{2}$

C. $x=\frac{k\pi }{8}$

D. $x=\frac{k\pi }{4}$

Câu 5.

A. $\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{24}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 6.

A. sinx = cos x

B. cosx = 0

C. cos8x = cos6x

D. sin8x = cos6x

Câu 7.

A. $x=-\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 8.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

Câu 9.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}\text{\hspace{0.17em},}k\in \mathbb{Z}$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}$ ,$k\in \mathbb{Z}$

C. $\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}$ ,$k\in \mathbb{Z}$

D. $\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=k\pi \end{array}$ ,$k\in \mathbb{Z}$

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin²3x – cosx = 0 là:

A. $-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$

C. $\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

D. $\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$

Câu 11.

A. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

Câu

A. $x=\frac{\pi }{8}+k\pi$

B. $x=\frac{k\pi }{2}$

C. $x=\frac{k\pi }{4}$

D. $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}$

Câu 13.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{13}\\ x=\frac{k\pi }{15}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{23}\\ x=\frac{k\pi }{25}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{k\pi }{5}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{33}\\ x=\frac{k\pi }{35}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 14. Họ nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là:

A. $\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{k\pi }{8};k\in \mathbb{Z}$

C. $\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$

D. $\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

Câu 15. Phương trình sin²3x – cos²4x = sin²5x – cos²6x có các nghiệm là:

A. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{12}\\ x=\frac{k\pi }{4}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{9}\\ x=\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{6}\\ x=k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
B	D	B	D	C	C	C	C	B	B	C	D	C	A	B