Công thức phép đồng dạng đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức phép đồng dạng - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta có: M’N’ = kMN.

* Tính chất:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho với tỉ số đồng dạng k.

- Biến góc thành góc bằng nó.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R.

2. Công thức

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0)

- Biến hai điểm M(x_M; y_M), N(x_N; y_N) thành 2 điểm tương ứng M’(x’_M; y’_M), N’(x’_N; y’_N) ta luôn có M’N’ = kMN.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

* Gọi d₁ là ảnh của d qua phép vị tử tâm O , tỉ số $k=\frac{1}{2}$.

Vì d₁ song song hoặc trùng với d nên phương trình của d₁ có dạng: x + c = 0

Lấy $M\left(2\sqrt{2};0\right)\in d$ thì ảnh của M qua phép $V_{\left(O;\frac{1}{2}\right)}$ là N(x_N; y_N) thuộc d₁

Tọa độ N là:

$\begin{array}{c}{x}_N=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}\\ y_N=\frac{1}{2}.0\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_N=\sqrt{2}\\ y_N=0\end{array}\iff N\left(\sqrt{2};0\right)$

Vậy phương trình của $d_1:x-\sqrt{2}=0$.

* Lấy hai điểm $A\left(\sqrt{2};0\right)$ và $B\left(\sqrt{2};-\sqrt{2}\right)$ thuộc d₁

Gọi ảnh của A và B qua phép quay $Q_{\left(O;45°\right)}$ A’ và B’. Khi đó đường thẳng d’ đi qua 2 điểm A’ và B’.

Tọa độ điểm A’:

$\begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=\sqrt{2}\cos 45°-0.\sin 45°\\ y_{A\text{'}}=\sqrt{2}\sin 45°+0.\cos 45°\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=1\\ y_{A\text{'}}=1\end{array}\Rightarrow A\text{'}\left(1;1\right)$

Tọa độ điểm B’:

$\begin{array}{l}{x}_{B\text{'}}=\sqrt{2}\cos 45°-\left(-\sqrt{2}\right).\sin 45°\\ y_{B\text{'}}=\sqrt{2}\sin 45°+\left(-\sqrt{2}\right).\cos 45°\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_{B\text{'}}=2\\ y_{B\text{'}}=0\end{array}\Rightarrow B\text{'}\left(2;0\right)$

Phương trình đường thẳng d’ qua A’(1;1), có VTCP là $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\left(1;-1\right)$. Suy ra VTPT là $\overrightarrow{n_{d\text{'}}}=\left(1;1\right)$.

Vậy phương trình d’: (x – 1) + (y – 1) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)² + (y – 2)² = 4. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm I(1; 3) , tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép quay tâm A(-1;1), góc quay 45⁰ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đường tròn (C) có bán kính R = 2.

Phép vị tự tâm I(1; 3) , tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến (C) thành (C₁) có bán kính $R_1=\frac{1}{2}R=1$.

Phép quay tâm A(-1;1) góc quay 45⁰ biến (C₁) thành (C’) có bán kính R’ = R₁ = 1.

Vậy đường tròn (C) qua phép đồng dạng như trên thành đường tròn (C’) có bán kính R’ = 1.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. M’(2;-1)

B. M’(8;1)

C. M’(4;2)

D. M’(8;4)

Câu 2.

A. (x – 2)² + (y – 2)² = 1

B. (x – 1)² + (y – 1)² = 1         

C. (x + 2)² + (y – 1)² = 1

D. (x + 1)² + (y – 1)² = 1

Câu 3.

A. 2x – y = 0

B. 2x + y = 0

C. 4x – y = 0

D. 2x + y – 2 = 0

Đáp án: