Công thức tính công bội của cấp số nhân (2024) chi tiết nhất

Công thức tính công bội của cấp số nhân

1. Lý thuyết công bội cấp số nhân

Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội.

2. Công thức tìm công bội của cấp số nhân

- Đề bài cho các dữ kiện khác: Lập hệ phương trình hai ẩn u₁ và q. Tìm u₁ và q.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Cho cấp số nhân (u_n) với u_n = 2.3ⁿ⁺¹. Tìm q?

b) Cho cấp số nhân (u_n) với $u_1=-\frac{1}{2};{\text{ u}}_7=-32$. Tìm q?

Lời giải

a) Cách 1: Ta có: u_n+1 = 2.3ⁿ⁺¹⁺¹ = 2.3ⁿ⁺².

Công bội của cấp số nhân: $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{2.3}^{n+2}}{{2.3}^{n+1}}=3$

Cách 2: Công bội của cấp số nhân: $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{{2.3}^{2+1}}{{2.3}^{1+1}}=3$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ {\text{u}}_7=-32\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ {\text{u}}_1{q}^6=-32\end{array}\Rightarrow q^6=64=2^6\iff q=\pm 2$

Vậy công bội của cấp số nhân là q = 2 hoặc q = – 2.

Ví dụ 2:

Tìm u₁ và q?

Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{u}_4=\frac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ u_1{q}^2=243.u_1{q}^7\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ q^5=\frac{1}{243}\end{array}\iff \begin{array}{l}q=\frac{1}{3}\\ u_1=2\end{array}\end{array}$

Vậy $u_1=2;q=\frac{1}{3}$.

4. Bài tập tìm công bội của cấp số nhân

Bài 1: Trung bình cộng của số hạng thứ 3 và thứ 4 của cấp số nhân (u_n) là 25 , số hạng thứ 3 của cấp số nhân là một số chính phương nhỏ nhất có hai chữ số. Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

A. Công bội q của cấp số nhân (un) là một số lớn hơn 3

B. Công bội q của cấp số nhân (un) là một số bé hơn 2

C. Công bội q của cấp số nhân (un) là một số lớn hơn 2

D. Công bội q của cấp số nhân (un) là một số bé hơn 1

Hướng dẫn giải

+ Tổng số hạng thứ 3 và thứ 4 của cấp số nhân (u_n) là:

u₃ + u₄ = 25.2 = 50

+ Vì số hạng thứ 3 của cấp số nhân là một số chính phương nhỏ nhất có hai chữ số nên u₃ = 16

+ Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là:

u4 = 50 - 16 = 34

+ Theo định nghĩa cấp số nhân, ta có:

u₄ = u₃ . q suy ra q = $\frac{u_4}{u_3}=\frac{34}{16}=\frac{17}{8}$ > 2

Chọn câu C

Bài 2. Biết số hạng thứ 6 và số hạng thứ 9 của cấp số nhân (u_n) là: u₆ = - 40, u₉ = -135 và cấp số nhân có công bội q > 0. Khi đó, công bội q của cấp số nhân (u_n) là?

Bài 3. Cấp số nhân (un) có công bội q < 0. Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 4 lần lượt là: u2 = 14 ; u4 = 56. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:

A. Cấp số nhân (u_n) có công bội q = - 2

B. Cấp số nhân (u_n) có số hạng thứ 3 là u₃ = - 20

C. Cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu là một số lớn hơn - 8

D. Cấp số nhân (u_n) có tổng số hạng thứ 3 và thứ 4 bằng 28

Bài 4: Biết dãy số (u_n) với un = 2.(- 5)ⁿ là một cấp số nhân có công bội q bằng.