50 bài tập về Đường thẳng và mặt phẳng song song (có đáp án 2024) và cách giải

Đường thẳng và mặt phẳng song song và cách giải bài tập - Toán lớp 11

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là: $a\cap \left(P\right)=\varphi \iff a//\left(P\right)$

b. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là: $a\cap \left(P\right)=A\iff$a cắt (P) tại A

c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:

$a\cap \left(P\right)=\left.A,B\right\}\iff a\subset \left(P\right)$ (Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P))

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Nhận xét: Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và một đường thẳng a song song với b. Lấy một điểm I tùy ý trên a. Khi đó:

- Nếu I thuộc (P) thì a nằm trong (P)

- Nếu I không thuộc (P) thì a song song với (P)

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).

3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, ta chứng minh d không nằm trong $\left(\alpha \right)$ và song song với đường thẳng a chứa trong $\left(\alpha \right)$

Tức: $\begin{array}{l}d\not\subset \left(\alpha \right)\\ a\subset \left(\alpha \right)\\ d//a\end{array}\Rightarrow d//\left(\alpha \right)$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AD.

Trong tam giác CBI có: $\frac{BM}{BC}=\frac{BG}{BI}=\frac{2}{3}$ (theo giả thuyết và tính chất trọng tâm)

Nên MG // CI (Định lý Ta – lét)

Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD)

Vậy MG // (ACD).

Ví dụ 2:

a. Chứng minh MN // (BCD).

b. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a. Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD)

Vậy: MN // (BCD).

b. Vì MN // (BCD)

Nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d đi qua D và song song với MN.

Mà MN nằm trong (ABC)

Do đó: d // (ABC).

Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

Phương pháp giải:

Nghĩa là: $\begin{array}{l}d//\left(\alpha \right)\\ \left(\beta \right)\supset d\\ \left(\beta \right)\cap \left(\alpha \right)=d\text{'}\end{array}\Rightarrow d//d\text{'}$

Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho trước được xác định bằng cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến đã biết.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3:

Lời giải:

Vì $\left(\alpha \right)$ // AD nên $\left(\alpha \right)$ cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự $\left(\alpha \right)$ // SC nên $\left(\alpha \right)$ cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có: OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có: MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Ví dụ 4:

Lời giải:

Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N và cắt AC tại I

Qua M, I, N vẽ các đường thẳng song song với SA lần lượt cắt SB, SC, SD tại R, Q, P.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

III. Bài tập áp dụng

1. Tự luận

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

2. Trắc nghiệm

Bài 1:

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 2:

A. a // b

B. a và b chéo nhau

C. a và b cắt nhau

D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b

Bài 3:

A. IO // mp (SAB)

B. IO // mp (SAD)

C. mp (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác

D. $\left(IBD\right)\cap \left(SAC\right)=IO$

Bài 4:

A. EF // (ABD)

B. EF // (ABC)

C. BE, AF và CD đồng quy

D. $\text{EF}=\frac{2}{3}AB$

Bài 5:

A. SK = 2KC

B. SK = KC

C. SK = 3KC

D. 2SK = KC