Công thức phép quay đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức phép quay - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng $\alpha$ được gọi là phép quay tâm O góc $\alpha$.

Điểm O được gọi là tâm quay, còn $\alpha$ được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc $\alpha$ biến điểm M thành M’ thường được kí hiệu là $Q_{\left(O,\alpha \right)}.$

$Q_{\left(O,\alpha \right)}\left(M\right)=M\text{'}\iff \begin{array}{l}OM=OM\text{'}\\ \left(OM,OM\text{'}\right)=\alpha \end{array}.$

* Tính chất:

- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Phép quay tâm O, góc 90⁰: $Q_{\left(O;90°\right)}\left.M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$. Khi đó: $\begin{array}{l}x\text{'}=-y\\ y\text{'}=x\end{array}$

Phép quay tâm O, góc -90⁰: $Q_{\left(O;-90°\right)}\left.M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$. Khi đó: $\begin{array}{l}x\text{'}=y\\ y\text{'}=-x\end{array}$

Phép quay tâm O, góc 180⁰: $Q_{\left(O;180°\right)}\left.M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$. Khi đó: $\begin{array}{l}x\text{'}=-y\\ y\text{'}=-x\end{array}$

Tổng quát: 

Phép quay tâm O, góc quay $\alpha$: $Q_{\left(O;\alpha \right)}\left.M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

Khi đó: $\begin{array}{l}x\text{'}=x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y\text{'}=x\sin \alpha +y\cos \alpha \end{array}$

Phép quay tâm I(a;b), góc quay $\alpha$: $Q_{\left(I;\alpha \right)}\left.M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

Khi đó: $\begin{array}{l}x\text{'}=a+\left(x-a\right)\cos \alpha -\left(y-b\right)\sin \alpha \\ y\text{'}=b+\left(x-a\right)\sin \alpha +\left(y+b\right)\cos \alpha \end{array}$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay –90⁰.

b) Tìm tọa độ điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 45⁰.

Lời giải

a) Điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Cách 1: Vẽ hình

Dựa vào vẽ, ta suy ra B(5;1).

Cách 2: Áp dụng công thức:

Do Q_(O,-90^o₎(A) = B nên $\begin{array}{l}{x}_B=y_A=5\\ y_B=-x_A=1\end{array}$. Vậy B(5;1).

b) Điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay Q_(O,45^o₎

Áp dụng công thức tọa độ: $\begin{array}{l}{x}_c=x_A\cos \alpha -y_A\sin \alpha \\ y_c=x_A\sin \alpha +y_A\cos \alpha \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}{x}_c=\left(-1\right)\cos 45°-5\sin 45°\\ y_c=\left(-1\right)\sin 45°+5\cos 45°\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}{x}_c=-3\sqrt{2}\\ y_c=2\sqrt{2}\end{array}$

Vậy $C\left(-3\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$

Ví dụ 2:

Tìm đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O(0;0) góc quay –90⁰.

Lời giải

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Cách 1:

Do Q_(O,-90^o₎(d) = d’ nên $d\text{'}\perp d$. Do đó phương trình d’ có dạng: 3x + 5y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(-3;0\right)\in d$, gọi $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$ là ảnh của điểm M qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Suy ra: $\begin{array}{l}x\text{'}=y_M=0\\ y\text{'}=-x_M=3\end{array}\Rightarrow M\text{'}\left(0;3\right).$

Do $M\text{'}\left(0;3\right)\in d\text{'}$ nên 3.0 + 5.3 + c = 0$\Rightarrow c=-15$

Vậy d’ có phương trình là 3x + 5y – 15 = 0.         

Cách 2:

Với mọi điểm $M\left(x;y\right)\in d,M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$ sao cho Q_(O,-90^o₎(M) = M’.

Khi đó ta có: $\begin{array}{l}x\text{'}=y\\ y\text{'}=-x\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-y\text{'}\\ y=x\text{'}\end{array}.$

Do $M\left(x;y\right)\in d$ nên ta có 5x – 3y + 15 = 0

$\begin{array}{l}\iff 5\left(-y\text{'}\right)–3x\text{'}+15=0\\ \iff 3x’+5y’–15=0\end{array}$

Do $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$ nên d' có phương trình: 3x + 5y – 15 = 0.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. N(5;1)

B. N(5;-1)

C. N(1;5)

D. N(1;-5)

Câu 2.

A. d’: 5x – 2y + 6 = 0

B. d’: 5x – 2y – 3 = 0        

C. d’: 2x – 5y – 3 = 0

D. d’: 2x – 5y + 6 = 0

Câu 3.

A. x² + (y – 3)² = 4

B. x² + y² + 6x – 6 = 0

C. x² + (y + 3)² = 4

D. x² + y² + 6x – 5 = 0

Đáp án: