50 bài tập về Cách giải phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án 2024) chi tiết nhất

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left.m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x=m\iff \sin x=\sin \alpha \iff \begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x=m\iff \begin{array}{l}x=\arcsin m+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\sin x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left.m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x=m\iff \cos x=\cos \alpha \iff \begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x=m\iff \begin{array}{l}x=\arccos m+k2\pi \\ x=-\arccos m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l}\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=1\iff x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x=m\iff x=\arctan m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x=m\iff \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x=m\iff x=\mathrm{arccot}m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

e) Chú ý:

Nếu gặp bài toán yêu cầu tìm số đo độ của góc lượng giác sao cho sin (cos, tan, cot) của chúng bằng m.

Ví dụ: $\sin \left(x+20°\right)=\frac{1}{2}$ ta có thể áp dụng các công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm.

Đối với ví dụ trên ta viết: $\begin{array}{l}x+20°=30°+k360°\\ x+20°=180°-30°+k360°\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

chứ không viết $\begin{array}{l}x+20°=30°+k2\pi \\ x+20°=180°-30°+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác.

Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

$\sin u\left(x\right)=\sin v\left(x\right)\iff \begin{array}{l}u\left(x\right)=v\left(x\right)+k2\pi \\ u\left(x\right)=\pi -v\left(x\right)+k2\pi \end{array}$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cos u\left(x\right)=\cos v\left(x\right)$$\iff u\left(x\right)=\pm v\left(x\right)+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\tan u\left(x\right)=\tan v\left(x\right)\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cot u\left(x\right)=\cot v\left(x\right)\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) 3cos(x+1) = 1

c) $\tan \left(3x+15°\right)=\sqrt{3}$

d) $\cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)-1=0$

Lời giải

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\\ \iff \begin{array}{l}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) 3cos(x+1) = 1

$\begin{array}{l}\iff cos\left(x+1\right)=\frac{1}{3}\\ \iff x+1=\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi \\ \iff x=-1\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-1\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) Điều kiện xác định: $\cos \left(3x+15°\right)\ne 0$

$\begin{array}{l}\iff 3x+15°\ne 90°+k180°\\ \iff 3x\ne 75°+k180°\\ \iff x\ne 25°+k60°\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Ta có: $\tan \left(3x+15°\right)=\sqrt{3}$

$\begin{array}{l}\iff \tan \left(3x+15°\right)=\tan 60°\\ \iff 3x+15°=60°+k180°\\ \iff 3x=45°+k180°\end{array}$

$\iff x=15°+k60°\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=15°+k60°;k\in \mathbb{Z}$.

d) Điều kiện xác định:

$\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\ne 0\iff \frac{\pi }{3}-x\ne k\pi$$\iff x\ne \frac{\pi }{3}-k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\begin{array}{l}\cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)-1=0\\ \iff \cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=1\\ \iff \cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\cot \frac{\pi }{4}\\ \iff \frac{\pi }{3}-x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$

$\iff x=\frac{\pi }{12}-k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{12}-k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2:

a) $\sin \left(3x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$

b) cos5x – sinx = 0

c) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=0$

d) $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cot \left(-2x\right)$

Lời giải

a) $\sin \left(3x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$

$\iff \begin{array}{l}3x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}-x+k2\pi \\ 3x-\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{6}+x+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}4x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \\ 2x=\frac{19\pi }{12}+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{19\pi }{24}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{19\pi }{24}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) cos5x – sinx = 0$\iff \cos 5x=\sin x\iff \cos 5x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff \begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}6x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3};x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

c) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=0$

$\begin{array}{l}\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\\ \iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\\ \iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x+\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}-x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}3x=\frac{13\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{13\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x=\frac{13\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3};x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

d) Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0\\ \sin \left(-2x\right)\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}\ne k\pi \\ -2x\ne k\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x\ne -\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cot \left(-2x\right)$

$\iff x+\frac{\pi }{3}=-2x+k\pi \iff 3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$

$\iff x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 3:

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0

b) (cotx + 1)sin3x = 0

c) $\frac{\sin 3x}{\cos 3x-1}=0$

d) tanx.tan2x = 1

Lời giải

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0

$\begin{array}{l}\iff \begin{array}{l}1+2\cos x=0\\ 3–\cos x=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2}\\ \cos x=3\left(Loại\right)\end{array}\\ \iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Điều kiện xác định: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: (cotx + 1)sin3x = 0

$\iff \begin{array}{l}\cot x+1=0\\ \sin 3x=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\cot x=-1\\ 3x=k\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{k\pi }{3}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) Điều kiện xác định:

$\cos 3x-1\ne 0\iff \cos 3x\ne 1\iff 3x\ne k2\pi \iff x\ne \frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có: $\frac{\sin 3x}{\cos 3x-1}=0$

$\Rightarrow \sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos 2x\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

tanx.tan2x = 1 (*)

Trường hợp 1: tanx = 0. Thay vào (*) (vô lí).

Trường hợp 2: $\tan x\ne 0\iff x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

(*) $\iff \tan 2x\ne \frac{1}{\tan x}$

$\begin{array}{l}\iff \tan 2x=\cot x\iff \tan 2x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\\ \iff 2x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \iff 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $\frac{8\pi }{15}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $-\frac{8\pi }{15}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $-\frac{8\pi }{15}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $\frac{8\pi }{15}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 2.

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Câu 3.

A. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

D. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\end{array},k\in \mathbb{Z}$

Câu 4.

A. $\begin{array}{l}x=25°+k.120°\\ x=-15°+k.120°\end{array},k\in \mathbb{Z}$

B. $\begin{array}{l}x=5°+k.120°\\ x=15°+k.120°\end{array},k\in \mathbb{Z}$

C. $\begin{array}{l}x=25°+k.120°\\ x=15°+k.120°\end{array},k\in \mathbb{Z}$

D. $\begin{array}{l}x=5°+k.120°\\ x=-15°+k.120°\end{array},k\in \mathbb{Z}$

Câu 5.

A. $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

D. $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 6.

A. $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 7.

A. $x=k\pi ;x=\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=k\pi ;x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 8.

A. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{\pi }{2}$

B. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{2\pi }{9}$

C. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{\pi }{6}$

D. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{\pi }{3}$

Câu 9.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{24}+2k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{24}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 10.

A. $\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 11.

A. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$

Câu 12.

A. $\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

B. $-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

C. $k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

D. Vô nghiệm

Câu 13.

A. $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=-\frac{\pi }{8}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 14.

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $x=\frac{3\pi }{14}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 15.

A. $\frac{7\pi }{18}$

B. $\frac{4\pi }{18}$

C. $\frac{47\pi }{8}$

D. $\frac{47\pi }{18}$

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
B	B	C	D	B	A	B	C	D	A	A	D	A	D	D