50 bài tập về Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (có đáp án 2024) và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0).

- Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương pháp giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$, ta được:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (*)

* Đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

$\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Hoặc đặt $\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\cos \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $\alpha \in \left.0;2\pi \right)$

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

$\sin x\sin \alpha +\cos x\cos \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \cos \left(x-\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Phương trình có nghiệm khi

$0\le \left.\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\le 1\iff \left.c\right|\le \sqrt{a^2+b^2}\iff c^2\le a^2+b^2$.

Chú ý: Các công thức đặc biệt

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) $\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{2}$

b) 5sin2x +12cos2x = 13

c) sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

Lời giải

a) $\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{2}$

$\iff \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1)

Đặt $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2};\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Khi đó (1)$\iff \sin 4x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 4x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(4x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \begin{array}{l}4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}4x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ 4x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}\iff \begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

b) $5\sin 2x+12\cos 2x=13$

$\iff \frac{5}{13}\sin 2x+\frac{12}{13}\cos 2x=1$ (2)

Đặt $\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}$ với $\alpha \in \left.0;2\pi \right)$

Khi đó (2)$\iff \sin 2x\cos \alpha +\cos 2x\sin \alpha =1$

$\iff \sin \left(2x+\alpha \right)=1\begin{array}{l}\iff 2x+\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff 2x=-\alpha +\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff x=-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$ với $\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}$.

c) sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

$\begin{array}{l}\iff \frac{1-\cos 2x}{2}-\sin 2x+1=0\\ \iff 1-\cos 2x-2\sin 2x+2=0\\ \iff \cos 2x+2\sin 2x=3\end{array}$

Ta thấy: 1² + 2² < 3². Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 2:

a) $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x$

b) $\cos 3x-\sin 5x=\sqrt{3}(\cos 5x-\sin 3x)$

Lời giải

a) $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x$

$\begin{array}{l}\iff 3\sin 3x-4{\sin }^{3}3x-\sqrt{3}\cos 9x=1\\ \iff \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1\\ \iff \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\\ \iff \sin 9x.\cos \frac{\pi }{3}-\cos 9x.\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\end{array}$$\begin{array}{l}\iff \sin \left(9x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \iff \begin{array}{l}9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 9x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\\ \iff \begin{array}{l}9x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 9x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}\end{array},\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}$; $x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{12}-k\pi ;x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$.

Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm

- Phương pháp giải:

Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$.

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: ${\left(m-1\right)}^2+2^2\ge {\left(m+3\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff m^2-2m+1+4\ge m^2+6m+9\\ \iff -8m\ge 4\iff m\le -\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy $m\le -\frac{1}{2}$ thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: ${\left(m-1\right)}^2+m^2\ge {\left(m+1\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff m^2-2m+1+m^2\ge m^2+2m+1\\ \iff m^2-4m\ge 0\\ \iff m\left(m-4\right)\ge 0\\ \iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}m\ge 0\\ m-4\ge 0\end{array}\\ \begin{array}{l}m\le 0\\ m-4\le 0\end{array}\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\ge 4\end{array}\\ \begin{array}{l}m\le 0\\ m\le 4\end{array}\end{array}\iff \begin{array}{l}m\ge 4\\ m\le 0\end{array}\end{array}$

Vậy $m\ge 4$ hoặc $m\le 0$ thì phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=2k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 2.

A. 5

B. 3

C. 6

D. 7

Câu 3.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{5}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\frac{\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 4.

A. $\frac{3\pi }{4}$

B. $\frac{7\pi }{8}$

C. $\frac{21\pi }{8}$

D. $\frac{11\pi }{4}$

Câu 5.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}-\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{7}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{7}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 6.

A. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=k\pi ;x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 7.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 8.

A. $\mathrm{\pi }$

B. $\frac{3\pi }{4}$

C. $\frac{\pi }{4}$

D. $\frac{\pi }{2}$

Câu 9.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{7}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{7}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{5}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{5}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 10.

A. $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

C. $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

D. $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Câu 11.

A. $-\frac{5}{2}<m\le \frac{5}{2}$

B. $m\le -\frac{5}{2}$

C. $m\ge \frac{5}{2}$

D. $-\frac{5}{2}\le m\le \frac{5}{2}$

Câu 12.

A. 12

B. 13

C. 11

D. 10

Câu 13.

A. $-2\le m<2$

B. $-2\le m\le 2$

C. $m\le 2$

D. $-2<m\le 2$

Câu 14.

A. $m\in \varnothing$

B. $m\in (-\infty ;0]\cup \left.\frac{1}{2};+\infty \right)$

C. $0\le m\le \frac{1}{2}$

D. $0<m<\frac{1}{2}$

Câu 15.

A. M = 4; m = 0 B. M = 2; m = -2 C. D. M = 3; m = 1

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	D	D	D	C	C	A	B	D	D	D	A	B	D	A