Công thức tính công sai của cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập (2025) chi tiết nhất

Công thức tính công sai của cấp số cộng

I. Lý thuyết về công sai cấp số cộng

1. Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa: (u_n) là cấp số cộng khi $u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (d gọi là công sai)

2. Công sai là gì?

Công sai d của cấp số cộng là số không phụ thuộc vào n.

3. Tính chất của cấp số cộng

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó.

U_k = $\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với k $\ge$2

4. Công thức tính số hạng tổng quát

5. Công thức tổng cấp số cộng

II. Công thức tính công sai của cấp số cộng

- Tính công sai dựa vào định nghĩa: d = u_n+1 – u_n hoặc d = u₂ – u₁ = u₃ – u₂ = …

- Đề bài cho các dữ kiện khác: Lập hệ phương trình hai ẩn u₁ và d. Tìm u₁ và d.

Ví dụ 1:

a) Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u_n+1 = u_n + 5. Tìm công sai của cấp số cộng.

b) Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u_n+1 = – 3n + 5. Tìm công sai của cấp số cộng.

Lời giải

a) Công sai của cấp số cộng là: d = u_n+1 – u_n = 5.

b) Cách 1: Ta có: u_n = – 3(n – 1) + 5 = – 3n + 8

Công sai của cấp số cộng là: d = u_n+1 – u_n = (– 3n + 5) – (–3n + 8) = – 3.

Cách 2: Tính u₁ = – 3.0 + 5 = 5 và u₂ = – 3.1 + 5 = 2

Khi đó công sai của cấp số cộng: d = u₂ – u₁ = 2 – 5 = – 3.

Ví dụ 2:

a) Cho cấp số cộng (u­_n) có u₄ = – 12 và u₁₄ = 18. Tìm u₁, d của cấp số cộng?

b) Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: $\begin{array}{l}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}$.

Tìm công sai của cấp số cộng.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\begin{array}{l}{u}_4=-12\\ u_{14}=18\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1+3d=-12\\ u_1+13d=18\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1=-21\\ d=3\end{array}$

Vậy u₁ = – 21 và d = 3.

b) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\begin{array}{l}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}\begin{array}{l}\iff \begin{array}{l}{u}_1+4d+3\left(u_1+2d\right)-\left(u_1+d\right)=-21\\ 3\left(u_1+6d\right)-2\left(u_1+3d\right)=-34\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}\end{array}$

Vậy u₁ = 2 và d = – 3.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho cấp số cộng u ( n ) có u₁ = 5, d = 4 . Hãy tính u ( 26 )

Ta có :

u (26) = u₁ + (26 - 1) d

= 5 + (26 - 1) x 4

= 105

Câu 2: Cho cấp số cộng u ( n ) có u₁ = -2, d = 7. Tìm công thức có số hạng tổng quát

u (n) = u₁ + (n - 1) d

= -2 + (n - 1) x 7

= 7n - 9

Câu 3: Cho cấp số cộng u ( n ) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính công sai d

Ta có S (100) = 24850

⇔ n / 2.( u₁ + u (n)) = 24850

⇔ u (100) = 496

Có u (100) = u₁ + 99 d

⇔ d = (u (100) - u₁) / 99

⇔ d = 5