Cấp số nhân | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Công thức cấp số nhân - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n - 1} với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

c) Tính chất

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ với $k\ge 2.$

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

2. Công thức

- Công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

- Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁ . q^{n - 1} với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

- Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ với $k\ge 2.$

- Tổng n số hạng đầu tiên: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải

a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng: u₂₅ = u₁ . q^25-1 = 3.(– 2)²⁴ = 3.2²⁴.

b) Gọi số hạng thứ k là số 49152, ta có

u_k = u₁.q^k-1 = 49152

$\iff 3.{\left(-2\right)}^{k-1}=49152$

$\iff {\left(-2\right)}^{k-1}=16384={\left(-2\right)}^{14}$

$\iff k=15$

Vậy số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

$S_{100}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{3.\left.1-{(-2)}^{100}\right]}{1-\left(-2\right)}=1-2^{100}$

Ví dụ 2:

a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

c) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₂₀₁.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\begin{array}{l}{u}_{20}=8u_{17}\\ u_1+u_5=272\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1.q^{19}-8u_1{q}^{16}=0\\ u_1+u_1{q}^4=272\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}{u}_1.q^{16}\left(q^3-8\right)=0\\ u_1\left(1+q^4\right)=272\end{array}\iff \begin{array}{l}{q}^3-8=0\\ u_1\left(1+q^4\right)=272\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}q=2\\ u_1=\frac{272}{1+2^4}=16\end{array}$

Vậy u₁ = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

$S_{100}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{16.\left.1-2^{100}\right]}{1-2}=16.\left(2^{100}-1\right)=2^{104}-16$

c) Dãy số là (v_n): u₁; u₃; u₅; u₇; … u₂₀₁ là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ và công bội $q\text{'}=\frac{u_3}{u_1}=q^2=4$.

Dãy (v_n) có $\frac{201-1}{2}+1=101$ số hạng

$S=u_1+u_3+u_5+u_7+\dots {+}^{}{u}_{201}=\frac{16.\left(1-4^{101}\right)}{1-4}=\frac{16}{3}.\left(4^{101}-1\right)$