50 bài tập về Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (có đáp án 2024) và cách giải

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình – Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Các công thức đạo hàm

Đạo hàm các hàm số cơ bản	Đạo hàm các hàm hợp u = u(x)
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1
$\left(x^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .x^{\alpha -1}$ $\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2};x\ne 0\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}};x>0\end{array}$ (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x ${\left(\tan x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$ ${\left(\cot x\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-\left(1+{\cot }^{2}x\right)$	$\left(u^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .u^{\text{'}}.u^{\alpha -1}$ $\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{u}\right)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{u^2}\\ {\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{2\sqrt{u}}\end{array}$ (sin u)’ = u’.cos u (cos u)’ = -u’.sin u ${\left(\tan u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{{\cos }^{2}u}=u^{\text{'}}.\left(1+{\tan }^{2}u\right)$ ${\left(\cot u\right)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{{\sin }^{2}u}=-u^{\text{'}}.\left(1+{\cot }^{2}u\right)$

b) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x)

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-v^{\text{'}}u}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)

b) ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$

Mở rộng:

${\left(u.v.\text{w}\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}.v.\text{w}+u.v^{\text{'}}.\text{w}+u.v.$

c) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: ${y_x}^{\text{'}}={y_u}^{\text{'}}.{u_x}^{\text{'}}$

Phương pháp giải:

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

b) Cho $f\left(x\right)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{x^3}+5$. Giải phương trình f’(x) = 0.

c) Cho y = cos2x + sin x. Giải phương trình y’ = 0.

Lời giải

a) Ta có $f\text{'}\left(x\right)={\left(2x^3+x-\sqrt{2}\right)}^{\text{'}}=6x^2+1$

$g\text{'}\left(x\right)={\left(3x^2+x+\sqrt{2}\right)}^{\text{'}}=6x+1$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)>g\text{'}\left(x\right)$$\iff 6x^2+1>6x+1$$\iff 6x^2-6x>0$$\iff 6x\left(x-1\right)>0$$\iff x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left(-\infty ;0\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

b) Ta có $f\text{'}\left(x\right)={\left(3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{x^3}+5\right)}^{\text{'}}$$=3-\frac{60}{x^2}+\frac{192}{x^4}$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff 3-\frac{60}{x^2}+\frac{192}{x^4}=0\left(1\right)$

Đặt $t=\frac{1}{x^2},\left(t>0\right)$

$\left(1\right)\iff 192t^2-60t+3=0\iff \begin{array}{l}t=\frac{1}{4}\\ t=\frac{1}{16}\end{array}$

Với $t=\frac{1}{4}\iff \frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}\iff x^2=4\iff x=\pm 2$

Với $t=\frac{1}{16}\iff \frac{1}{x^2}=\frac{1}{16}\iff x^2=16\iff x=\pm 4$

Vậy f’(x) = 0 có 4 nghiệm $x=\pm 2$, $x=\pm 4$.

c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x

Khi đó, phương trình có dạng:

$-\sin 2x+\cos x=0$$\iff \sin 2x=\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff \begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{2}+x+2k\pi \end{array}$ $\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \end{array};k\in \mathbb{Z}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3};x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2:

b) Cho y = xsinx. Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = 0.

Lời giải

a) $y\text{'}=\left(tanx\right)’=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+ta{n}^{2}x$

Ta có: y’ – y² – 1 = 1 + tan²x – tan²x – 1 = 0 (đpcm).

b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x.

Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y)

= x².sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x)

= x²sin x – 2xcos x + 2xcosx – x²sinx = 0 (đpcm).

2. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. x = 2.

B. x = 1.

C. Vô nghiệm.

D. x = – 1.

Câu 2.

A. $\left.-2\sqrt{2}\right\}.$

B. $\left.2;\sqrt{2}\right\}.$

C. $\left.-4\sqrt{2}\right\}.$

D. $\left.2\sqrt{2}\right\}.$

Câu 3.

A. $\left.-\frac{2}{9};0\right].$

B. $\left.-\frac{9}{2};0\right].$

C. $\left(-\infty ;-\frac{9}{2}\right]\cup \left.0;+\infty \right).$

D. $\left(-\infty ;-\frac{2}{9}\right]\cup \left.0;+\infty \right).$

Câu 4.

A. $m\in \left(-1;-\frac{1}{4}\right).$

B. $m\in \left.-1;-\frac{1}{4}\right].$

C. $m\in \left(-\infty ;-1\right]\cup \left.-\frac{1}{4};+\infty \right).$

D. $m\in \left.-1;\frac{1}{4}\right].$

Câu 5.

A. $m=-1+\sqrt{2}$; $m=-1-\sqrt{2}.$

B. $m=-1-\sqrt{2}.$

C. $m=1-\sqrt{2}$; $m=1+\sqrt{2}.$

D. $m=-1+\sqrt{2}$.

Câu 6.

A. Không có giá trị nào của x.

B. $\left(-\infty ;0\right].$

C. $\left.0;+\infty \right).$

D. R.

Câu 7.

A. $x\in ℝ\backslash \left.1\right\}.$

B. $x\in \varnothing .$

C. $x\in \left(1;+\infty \right).$

D. $x\in ℝ.$

Câu 8.

A. $S=\left.0;\frac{2}{3}\right\}.$

B. $S=\left.-\frac{2}{3};0\right\}.$

C. $S=\left.0;\frac{3}{2}\right\}.$

D. $S=\left.-\frac{3}{2};0\right\}.$

Câu 9.

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 10.

A. M = (– 3; 3).

B. $M=(-\infty ;-3]\cup [3;+\infty ).$

C. M = R.

D. $M=(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$.

Câu 11.

A. S = (– 1; 1).

B. $S=(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.

C. $S=(1;+\infty )$.

D. $S=(-\infty ;-1)$.

Câu 12.

A. –1 < x < 0.

B. x < 0.

C. x > 0.

D. x < – 1.

Câu 13.

A. $[3;+\infty ).$

B. [-2; 0].

C. $[4\sqrt{2};+\infty ).$

D. $[1;+\infty ).$

Câu 14.

A. $\left|a\right|<\sqrt{5}.$

B. $\left|a\right|\ge \sqrt{5}.$

C. |a|>5.

D. |a|<5.

Câu 15.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=-\frac{3\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array}(k\in ℝ).$

B. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=-\frac{3\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array}(k\in ℝ).$

C. $\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{3\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array}(k\in ℝ).$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{3\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array}(k\in ℝ)$.

Bảng đáp án