50 bài tập về Xác định biến cố và tính xác suất của biến cố (có đáp án 2024) và cách giải

Xác định biến cố và tính xác suất của biến cố chi tiết nhất - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Phép thử ngẫu nhiên

+ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:- Kết quả của nó không đoán trước được;

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

+ Phép thử thường được kí hiệu: T.

+ Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử

Kí hiệu: $\Omega$. Số phần tử trong không gian mẫu kí hiệu là $\left.\Omega \right|$ hoặc $n\left(\Omega \right)$.

b) Biến cố

- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.

- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A.- Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ${\Omega }_A$ hoặc A.

c) Tính chất của biến cố

Giải sử $\Omega$ là không gian mẫu, A và B là các biến cố.

+ $\Omega \backslash A=\overline{A}$ được gọi là biến cố đối của biến cố A.

+ $A\cup B$ là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.

+ A $\cap$ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A $\cap$ B còn được viết là AB.

+ Nếu $A\cap B=\varnothing$, ta nói A và B xung khắc.

d) Xác suất của biến cố

* Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu là một tập hữu hạn.

Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng ${\Omega }_A\subset \Omega$. Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức

$P\left(A\right)=\frac{\left.{\Omega }_A\right|}{\left.\Omega \right|}$

Trong đó: $\left.{\Omega }_A\right|$ là số phần tử của biến cố A

$\left.\Omega \right|$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.

* Tính chất

$\begin{array}{l}0\le P\left(A\right)\le 1\\ P\left(\Omega \right)=1\\ P(\varnothing )=0\end{array}$

2. Các dạng toán

Dạng 1. Xác định không gian mẫu và biến cố

Phương pháp giải:

- Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.

- Cách 2: Sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để đếm só phần tử của không gian mẫu và biến cố.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S) và mặt ngửa (N).

a) Mô tả không gian mẫu. Tính số phần tử của không gian mẫu

b) Xác định và tính số phần tử của các biến cố

A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”.

B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”.

C: “Đúng 2 lần xuất hiện mặt ngửa”.

D: “Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp”.

Lời giải

a) Không gian mẫu

$\Omega$ ={SSS; SSN; SNS; SNN; NNN; NNS; NSN; NSS}

Do đó: Số phần tử của không gian mẫu: $\left.\Omega \right|=8$

(Cách khác: Số phần tử được tính bằng: 2.2.2 = 8)

b) A = {SSS; SSN; SNS; SNN}; |A| = 4

B = {SSS; NNN}; |A| = 2

C = {SNN; NNS; NSN}; |C| = 3

D = {SSS; SSN; SNS; SNN; NNS; NSN; NSS}; |D| = 7

Ví dụ 2.

a) Không gian mẫu

b) Các biến cố

A: “4 viên bi lấy ra có đúng 2 màu vàng”.

B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 màu xanh”.

C: “4 viên bi lấy ra có đúng một màu”.

D: “4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.

Lời giải

a) Số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó: $C_{25}^4=12650$

Số phần tử của không gian mẫu là $\left.\Omega \right|=12650$.

b) * Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng 2 màu vàng: $C_8^2.C_{17}^2=3808$.

Do đó: |A| = 3808.

* Số cách chọn 4 viên bi trong đó không có màu xanh: $C_{18}^4$

Số cách chọn 4 viên bi trong đó có ít nhất 1 màu xanh là: $C_{25}^4-C_{18}^4=9590$.

Do đó: |B| = 9590.

* Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng một màu là: $C_8^4+C_7^4+C_{10}^4=315$.

Do đó: |C| = 315.

* Số cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ 4 màu

Trường hợp 1: 2 viên bi vàng, 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: $C_8^2.C_7^1.C_{10}^1=1960$

Trường hợp 2: 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ: $C_8^1.C_7^2.C_{10}^1=1680$

Trường hợp 3: 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ: $C_8^1.C_7^1.C_{10}^2=2520$

Do đó: |D| = 1960 + 1680 + 2520 = 6160.

Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: $P\left(A\right)=\frac{\left.{\Omega }_A\right|}{\left.\Omega \right|}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

a) Ba lần đều xuất hiện mặt 1 chấm

b) Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm

c) Tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu: $\left.\Omega \right|=\mathrm{6.6.6}=6^3=216$.

a) Gọi A là biến cố: “Ba lần gieo đều xuất hiện 1 chấm”

Số phần tử của A là: |A| =1

Xác suất để ba lần gieo đều xuất hiện mặt 1 chấm là: $P\left(A\right)=\frac{\left.A\right|}{\left.\Omega \right|}=\frac{1}{216}$

b) Gọi B là biến cố: “Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”

Số cách không xuất hiện mặt 6 chấm là: 5.5.5 = 125

Do đó |B| = 216 – 125 = 91.

Xác suất để có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm: $P\left(B\right)=\frac{\left.B\right|}{\left.\Omega \right|}=\frac{91}{216}$

c) Gọi C là biến cố: “Tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6”

Để có tổng số chấm là 6 ta có các bộ 3 số như nhau: (1; 1; 4), (1; 2; 3), (2; 2; 2)

Trường hợp 1: Xuất hiện 2 lần mặt 1 chấm và 1 lần mặt 4 có 3 cách

Trường hợp 2: Xuất hiện 1 lần mặt 1 chấm, 1 lần mặt 2 chấm, 1 lần mặt 3 chấm có 3! = 6 cách

Trường hợp 3: Xuất hiện 3 lần mặt 2 chấm có 1 cách.

Do đó: |C| = 3 + 6 + 1 = 10

Xác suất để có tổng số chấm trong 3 lần gieo bằng 6 là: $P\left(C\right)=\frac{\left.C\right|}{\left.\Omega \right|}=\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$

Ví dụ 2.

a) Các học sinh nam ngồi cạnh nhau

b) Không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là: $\left.\Omega \right|=12!$

a) Gọi A là biến cố: “Các học sinh nam ngồi cạnh nhau”

Số cách xếp các học sinh nam ngồi cạnh nhau là: |A| = 8! . 5!

Xác suất để các học sinh nam ngồi cạnh nhau là: $P\left(A\right)=\frac{\left.A\right|}{\left.\Omega \right|}=\frac{8!.5!}{12!}=\frac{1}{99}$

b) Gọi B là biến cố: “Không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau”

Xếp 7 học sinh nữ vào bàn dài ta có: 7! cách xếp

Khi đó tạo ra 8 chỗ trống (6 chỗ trống giữa 2 bạn nữ và 2 chỗ trống 2 bên). Xếp 5 bạn nam vào các chỗ trống đó (Mỗi chỗ trống chỉ được 1 bạn): có cách xếp

Do đó số cách xếp để không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau là: $\left.B\right|=7!.A_8^5$

Xác xuất để không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau là: $P\left(B\right)=\frac{\left.B\right|}{\left.\Omega \right|}=\frac{7!.A_8^5}{12!}=\frac{7}{99}$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $\frac{12}{216}$

B. $\frac{1}{216}$

C. $\frac{6}{216}$

D. $\frac{3}{216}$

Câu 2.

A. $\frac{313}{408}$

B. $\frac{95}{408}$

C. $\frac{5}{102}$

D. $\frac{25}{136}$

Câu 3.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{5}{18}$

C. $\frac{8}{9}$

D. $\frac{13}{18}$

Câu 4.

A. 0,3

B. 0,5

C. 0,2

D. 0,15

Câu 5.

A. $\frac{560}{4199}$

B. $\frac{4}{15}$

C. $\frac{11}{15}$

D. $\frac{3639}{4199}$

Câu 6.

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{7}{15}$

C. $\frac{8}{15}$

D. $\frac{1}{5}$

Câu 7.

A. $\frac{70}{143}$

B. $\frac{73}{143}$

C. $\frac{56}{143}$

D. $\frac{87}{143}$

Câu 8.

A. $\frac{5}{22}$

B. $\frac{6}{11}$

C. $\frac{5}{11}$

D. $\frac{8}{11}$

Câu 9.

A. $\frac{41}{55}$

B. $\frac{14}{55}$

C. $\frac{28}{55}$

D. $\frac{42}{55}$

Câu 10. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.

A. $\frac{91}{323}$

B. $\frac{637}{969}$

C. $\frac{7}{9}$

D. $\frac{91}{285}$

Câu 11.

A. $\frac{2}{9}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{5}{18}$

D. $\frac{5}{6}$

Câu 12.

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{1}{30}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{29}{30}$

Câu 13.

A. $\frac{5}{32}$

B. $\frac{5}{8}$

C. $\frac{5}{9}$

D. $\frac{5}{7}$

Câu 14.

A. $\frac{7}{5}$

B. $\frac{1}{45}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{24}{45}$

Câu 15.

A. $\frac{6}{7}$

B. $\frac{5}{7}$

C. $\frac{4}{7}$

D. $\frac{3}{7}$

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	D	D	A	A	A	C	D	B	C	A	B	D	D