50 bài tập về Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D=R\backslash \left.k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

- Tập giá trị: R

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ xác định khi $g\left(x\right)\ne 0$

$y=\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định khi $f\left(x\right)\ge 0$

$y=\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{g\left(x\right)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

y = cot[u(x)] xác định khi $u\left(x\right)\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\sin x\ne 0$ khi $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cos x\ne 0$ khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

a) $y=\tan \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)$

b) $y=\sqrt{2-\sin x}$

Lời giải

a) $y=\tan \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)}{\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)}$

Điều kiện xác định: $\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$

$\begin{array}{l}\iff 3x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ \iff 3x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ \iff x\ne \frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) Điều kiện xác định: $2-\sin x\ge 0$

$\iff \sin x\le 2$ (đúng $\forall x\in ℝ$) vì $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

Vậy tập xác định của hàm số là D = R.

Ví dụ 2.

a) $y=\frac{2}{\sin x-\cos x}$

b) $y=\frac{\tan 3x}{2\sin x+1}+\cot \left(x-1\right)$

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $\sin x-\cos x\ne 0\iff \sin x\ne \cos x$ (*)

+ Trường hợp 1: cosx = 0. Ta có sin²x + cos²x = 1

$\iff {\sin }^{2}x=1\iff \sin x=\pm 1$

Hiển nhiên $\sin x\ne \cos x$.

+ Trường hợp 2: $\cos x\ne 0$. Chia cả hai vế cho cosx

(*) $\iff \frac{\sin x}{\cos x}\ne 1$$\iff \tan x\ne 1$$\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

b) Vì $\tan 3x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}$ và $\cot \left(x-1\right)=\frac{\cos \left(x-1\right)}{\sin \left(x-1\right)}$

Điều kiện xác định: $\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \sin x\ne \frac{-1}{2}\\ \sin \left(x-1\right)\ne 0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ x-1\ne k\pi \end{array}$$\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne 1+k\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne 1+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};1+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Dạng 2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$-1\le \sin \left.u\left(x\right)\right]\le 1;0\le {\sin }^2\left.u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left.\sin \left.u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left.u\left(x\right)\right]\le 1;0\le {\cos }^2\left.u\left(x\right)\right]\le 1;$ $0\le \left.\cos \left.u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

a) y = 2sin3x – 5

b) $y=2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)+5$

c) y = |cos(3x-2)| + 4

Lời giải

a) Ta có: $-1\le \sin 3x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin 3x\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -7\le 2\sin 3x-5\le -3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [-7;-3].

b) Ta có: $0\le {\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff 5\le 2{\sin }^2\left(x^2-\frac{\pi }{12}\right)+5\le 7\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [5;7].

c) Ta có: $0\le \left.cos\left(3x-2\right)\right|\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff 4\le \left.cos\left(3x-2\right)\right|+4\le 5\forall x\in ℝ$

Vậy tập giá trị: T = [4;5].

Ví dụ 2.

a) $y=\sqrt{\sin x+1}-2$

b) y = cos2x + 4sinx +1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $\sin x+1\ge 0\iff \sin x\ge -1\forall x\in ℝ$.

Tập xác định D = R.

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le \sin x+1\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le \sqrt{\sin x+1}\le \sqrt{2}\forall x\in ℝ\\ \iff -2\le \sqrt{\sin x+1}-2\le \sqrt{2}-2\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: $T=\left.-2;\sqrt{2}-2\right]$.

b) y = cos2x + 4sinx +1 = 1 - 2sin²x + 4sinx +1 = -2sin²x + 4sinx + 2 = -2(sinx – 1)² + 4.

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -8\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -4\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2+4\le 4\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy tập giá trị: T = [-4;4].

Dạng 3. Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R

- Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}m\ge f\left(x\right)\forall x\in \left.a;b\right]\Rightarrow m\ge \underset{x\in \left.a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m>f\left(x\right)\forall x\in \left.a;b\right]\Rightarrow m>\underset{x\in \left.a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m\le f\left(x\right)\forall x\in \left.a;b\right]\Rightarrow m\le \underset{x\in \left.a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\\ m<f\left(x\right)\forall x\in \left.a;b\right]\Rightarrow m<\underset{x\in \left.a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\end{array}$

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

Lời giải

Để hàm số xác định trên R thì $\sin x+m\ge 0\forall x\in ℝ\iff m\ge -\sin x\forall x\in ℝ$.

Mà ta có $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff -1\le -\sin x\le 1\forall x\in ℝ$

Nên $m\ge 1$.

Ví dụ 2.

Lời giải

Ta có:$y=\sqrt{{\sin }^{2}x-2\sin x+m}$$=\sqrt{{\left(\sin x-1\right)}^2+m-1}$

Hàm số xác định trên R khi ${\left(\sin x-1\right)}^2+m-1\ge 0\forall x\in ℝ$

$\iff m\ge 1-{\left(\sin x-1\right)}^2\forall x\in ℝ$

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -4\le -{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -3\le 1-{\left(\sin x-1\right)}^2\le 1\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy $m\ge 1$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left.\frac{5\pi }{12}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left.\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 2.

A. R

B. $ℝ\backslash \left.k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $ℝ\backslash \left.\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 3.

A. $D=\left.-1;+\infty \right)$

B. D = R

C. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=\left(-\infty ;-1\right]$

Câu 4.

A. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left.\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 5.

A. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left.-\frac{\pi }{4}+k\pi ;-\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 6.

A. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left.\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left.\frac{3\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 7.

A. $D=ℝ\backslash \left.-\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

B. $D=ℝ\backslash \left.-\frac{3\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

C. $D=ℝ\backslash \left.-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

D. $D=ℝ\backslash \left.-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

Câu 8.

A. y = sinx + cot5x

B. $y=\frac{\tan 3x}{{\sin }^{2}x+1}$

C. $y=2\cos \sqrt{x}$

D. $y=\sqrt{1-\sin 2x}$

Câu 9.

A. [1;3]

B. [-1;1]

C. [-1;3]

D. [-1;0]

Câu 10.

A. [2;3]

B. [1;2]

C. [2;4]

D. [3;4]

Câu 11.

A. $\frac{5}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Câu 12.

A. [-1;1]

B. [-5;7]

C. [0;2]

D. [-1;3]

Câu 13.

A. $m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

B. $m\in \left(-\infty ;-1\right]\cup \left.1;+\infty \right)$

C. $m\ne 1$

D. $m\in \left.-1;1\right]$

Câu 14.

A. m > 3

B. m < -1

C. $m\ge 3$

D. $m\le -1$

Câu 15.

A. $m\ge -\frac{3}{2}$

B. $m\ge \frac{5}{2}$

C. Không có m thỏa mãn

D. $m\ge 5$

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	D	B	C	B	C	A	D	B	D	B	D	A	A	B