50 bài tập về Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Một số dạng phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

$\begin{array}{l}a.{\sin }^{2}x+b.sinx+c=0,(a\ne 0)\\ a.co{s}^{2}x+b.cosx+c=0,(a\ne 0)\\ a.ta{n}^{2}x+b.tanx+c=0,(a\ne 0)\\ a.co{t}^{2}x+b.cotx+c=0,(a\ne 0)\end{array}$

2. Phương pháp giải

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) 2sin²x – 5sinx + 2 = 0

b) 5cos²x – 6cosx + 1 = 0

c) tan²x + 2tanx – 3 = 0

Lời giải

a) Đặt t = sinx với

Ta được phương trình: 2t² – 5t + 2 = 0

$\iff 2t^2-4t-t+2=0\iff \left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0\iff \begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=2\left(Loại\right)\end{array}$

Khi đó $\sin x=\frac{1}{2}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Đặt t = cosx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: 5t² – 6t + 1 = 0

$\iff 5t^2-5t-t+1=0\iff \left(5t-1\right)\left(t-1\right)=0\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{1}{5}\end{array}$(Thỏa mãn)

Khi đó $\begin{array}{l}\cos x=1\\ \cos x=\frac{1}{5}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\pm \arccos \frac{1}{5}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k2\pi ;x=\pm \arccos \frac{1}{5}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) Điều kiện xác định: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: t² + 2t – 3 = 0

$\iff t^2+3t-t-3=0\iff \left(t+3\right)\left(t-1\right)=0\iff \begin{array}{l}t=-3\\ t=1\end{array}$

Khi đó $\iff \begin{array}{l}\tan x=-3\\ \tan x=1\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x=\arctan \left(-3\right)+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan \left(-3\right)+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2:

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

b) cos2x – 4sinx = 3

c) $cos2x–3cosx+4{\cos }^2\frac{x}{2}=0$

Lời giải

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

$\begin{array}{l}\iff 1-{\cos }^{2}x+2cosx+2=0\\ \iff -{\cos }^{2}x+2cosx+3=0\end{array}$

Đặt t = cosx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: - t² + 2t + 3 = 0

$\begin{array}{l}\iff -\left(t+1\right)\left(t-3\right)=0\\ \iff \begin{array}{l}t=-1\\ t=3\left(Loại\right)\end{array}\end{array}$

Khi đó $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) cos2x – 4sinx = 3

$\begin{array}{l}\iff 1-2{\sin }^{2}x-4\sin x-3=0\\ \iff -2{\sin }^{2}x-4\sin x-2=0\end{array}$

Đặt t = sinx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: -2t² – 4t – 2 = 0

$\iff -2{\left(t+1\right)}^2=0$

$\iff t=-1$ (Thỏa mãn)

Khi đó: $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) $cos2x–3cosx+4{\cos }^2\frac{x}{2}=0$

$\begin{array}{l}\iff 2{\cos }^{2}x-1-3\cos x+4.\frac{1+\cos x}{2}=0\\ \iff 2{\cos }^{2}x-\cos x+1=0\end{array}$

Đặt t = cosx với $-1\le t\le 1$

Ta được phương trình: 2t² – t + 1 = 0 (*)

Ta có: $\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.2.1}=-7<0$. Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

a) tanx + 5cotx = 6

b) $\frac{1}{\sin x}+3{\cot }^{2}x+1=0$

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\iff x\ne \frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

Ta có: tanx + 5cotx = 6$\iff \tan x+\frac{5}{\tan x}=6$

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: $t+\frac{5}{t}=6$ (Điều kiện: $t\ne 0$)

$\Rightarrow t^2+5=6t\iff t^2-6t+5=0\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=5\end{array}$

Khi đó $\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=5\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan 5+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan 5+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Điều kiện xác định: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Vì $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\cot }^{2}x$ nên ${\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1$

Thay vào phương trình ta có: $\frac{1}{\sin x}+3\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1\right)+1=0$

$\iff 3\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{\sin x}-2=0$

Đặt $t=\frac{1}{\sin x}$ (Vì $-1\le \sin x\le 1;\sin x\ne 0$ nên $t\ge 1$ hoặc $t\le -1$)

Ta được phương trình: 3t² + t – 2 = 0$\iff \begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{2}{3}\left(Loại\right)\end{array}$

Khi đó $\frac{1}{\sin x}=-1$$\iff \sin x=-1$$\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $x=\frac{\pi }{2},x=\frac{\pi }{3}$

B. $x=\frac{\pi }{2},x=\frac{\pi }{3}$

C. $x=\frac{\pi }{6}$

D. $x=\frac{5\pi }{6}$

Câu 2.

A. $\frac{\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$

D. $-\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$

Câu 3.

A. $x=\frac{\pi }{2}$

B. $x=\frac{3\pi }{2}$

C. $x=\frac{5\pi }{6}$

D. $x=\frac{\pi }{6}$

Câu 4.

A. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 5. Trong $\left.0;2\pi \right)$, phương trình sinx = 1 – cos²x có tập nghiệm là:

A. $\left.\frac{\pi }{2};\pi ;2\pi \right\}$

B. $\left.0;\pi \right\}$

C. $\left.0;\frac{\pi }{2};\pi \right\}$

D. $\left.0;\frac{\pi }{2};\pi ;2\pi \right\}$

Câu 6.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7. Phương trình ${\sin }^2\frac{x}{3}-2\cos \frac{x}{3}+2=0$ có các nghiệm là:

A. $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

B. $x=k3\pi ,k\in \mathbb{Z}$

C. $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

D. $x=k6\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Câu 8.

A. $k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $-\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 9.

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan (-6)+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\arctan (-6)+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan (-6)+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=k\pi ;x=\arctan (-6)+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình $3\tan 2x+2\cot 2x-5=0$ là

A. $-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

C. $-\frac{1}{2}\arctan \frac{2}{3}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

D. $\frac{1}{2}\arctan \frac{2}{3}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

Câu 11.

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Câu 12.

A. $\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 13.

A. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k3\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k3\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 14.

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Câu 15.

A. $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	C	D	A	C	D	D	C	A	D	D	D	D	B	A